(x-b)(x-c)....(x-z).jpeg "(x-a)(x-b)(x-c)....(x-z)")
Ekspansi dan Sifat dari Produk Faktorial (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z)
Produk faktorial (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z) adalah ekspresi matematika yang terdiri dari n faktor, dimana setiap faktor adalah binomial dalam bentuk (x-k) dengan k adalah konstanta yang berbeda-beda. Artikel ini akan membahas ekspansi dan beberapa sifat dari produk faktorial ini.
Ekspansi Produk Faktorial
Ekspansi produk faktorial (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z) dapat ditulis sebagai:
$(x-a)(x-b)(x-c)...(x-z) = x^n - (a+b+c+...+z)x^{n-1} + ... + (-1)^nabc...z$
dimana n adalah jumlah faktor dan a, b, c, ..., z adalah konstanta.
Contoh, jika kita memiliki produk faktorial (x-1)(x-2)(x-3), maka ekspansinya adalah:
$(x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - (1+2+3)x^2 + (1*2+1*3+2*3)x - (1*2*3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
Sifat Produk Faktorial
Berikut beberapa sifat produk faktorial (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z):
1. Nilai Nol
Jika x=a, maka (x-a) = 0, sehingga produk faktorial (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z) juga bernilai 0. Demikian pula jika x=b, x=c, ..., x=z.
2. Koefisien dari x^n-1
Koefisien dari x^n-1 adalah negatif dari jumlah semua konstanta, yaitu -(a+b+c+...+z).
3. Koefisien dari x^n-2
Koefisien dari x^n-2 adalah jumlah semua produk dua konstanta, yaitu (a*b + a*c + ... + y*z).
4. Simetri
Produk faktorial (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z) mempunyai sifat simetri, yaitu jika kita menukar urutan faktor-faktor, maka hasilnya akan tetap sama.
Aplikasi Produk Faktorial
Produk faktorial (x-a)(x-b)(x-c)...(x-z) memiliki beberapa aplikasi dalam matematika dan ilmu lain, seperti:
- Teori bilangan
- Aljabar
- Analisis kompleks
- Statistik
Dalam teori bilangan, produk faktorial ini digunakan untuk menentukan faktor-faktor prima dari sebuah bilangan. Dalam aljabar, produk faktorial ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Dalam analisis kompleks, produk faktorial ini digunakan untuk menyelesaikan integral kompleks. Dan dalam statistik, produk faktorial ini digunakan untuk menentukan probabilitas dari sebuah kejadian.
