Solusi Rekursi: a1 = 1, (n + 3)an+1 = nan
Rumus rekursi ini menggambarkan hubungan antara suku-suku dalam suatu barisan. Kita akan mencari solusi eksplisit untuk rumus rekursi ini.
Mencari Pola
Mari kita hitung beberapa suku pertama dari barisan:
- a1 = 1 (diberikan)
- a2 = (1 + 3)a1 = 4
- a3 = (2 + 3)a2 = 20
- a4 = (3 + 3)a3 = 120
Dari sini kita bisa melihat bahwa setiap suku adalah hasil perkalian suku sebelumnya dengan n + 3.
Solusi Eksplisit
Kita dapat menyatakan solusi eksplisit untuk rumus rekursi ini sebagai berikut:
an = n! * (n + 2)
Bukti:
- Basis Induksi: Untuk n = 1, rumus eksplisit memberikan a1 = 1! * (1 + 2) = 3. Ini sesuai dengan nilai awal yang diberikan.
- Langkah Induksi: Asumsikan rumus eksplisit benar untuk beberapa nilai k. Kita perlu menunjukkan bahwa rumus tersebut juga benar untuk k + 1.
- Hipotesis Induksi: ak = k! * (k + 2)
- Langkah Induksi: Kita perlu menunjukkan bahwa ak+1 = (k + 1)! * (k + 3)
- Menggunakan rumus rekursi, kita punya: ak+1 = (k + 3)ak
- Mengganti ak dengan hipotesis induksi: ak+1 = (k + 3) * k! * (k + 2)
- Menyederhanakan: ak+1 = (k + 1)! * (k + 3)
- Ini adalah hasil yang ingin kita buktikan.
Kesimpulan
Dengan prinsip induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa rumus eksplisit an = n! * (n + 2) adalah solusi yang valid untuk rumus rekursi a1 = 1, (n + 3)an+1 = nan. Rumus ini memungkinkan kita untuk menghitung nilai suku ke-n dari barisan tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya.
