-%3D-n(n%2B1)(n%2B2)%2F3.jpeg "1*2+2*3+3*4+...+n(n+1) = N(n+1)(n+2)/3")
Rumus Matematika:
Deret Aritmatika Spesial: 12+23+3*4+...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Pernahkah Anda mendengar tentang deret aritmatika spesial yang melibatkan perkalian dan penjumlahan? Rumus matematika yang satu ini cukup menarik dan penting dalam matematika. Rumusnya adalah sebagai berikut:
12 + 23 + 3*4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Pengertian dan Dasar
Rumus di atas menggambarkan deret aritmatika yang dimulai dari 12, kemudian 23, 3*4, dan seterusnya hingga n(n+1). Jika kita perhatikan, setiap suku dalam deret ini memiliki pola yang jelas. Setiap suku memiliki faktor umum, yaitu bilangan yang dipakai sebagai faktor perkalian.
Misalnya, dalam suku pertama, 12, kita memiliki faktor umum 1. Dalam suku kedua, 23, kita memiliki faktor umum 2. Demikian seterusnya hingga n(n+1), kita memiliki faktor umum n.
Bukti Matematis
Untuk membuktikan rumus di atas, kita dapat menggunakan induksi matematis. Misalnya, kita akan membuktikan bahwa rumus di atas benar untuk n = 1, 2, 3, ..., k.
Basis Induksi
Untuk n = 1, kita memiliki:
12 = 12*3/3
Yang benar-benar True.
Langkah Induksi
Misalnya, kita anggap bahwa rumus di atas benar untuk n = k. Maka, kita akan membuktikan bahwa rumus tersebut juga benar untuk n = k + 1.
(k+1)k + k(k+1) = (k+1)(k+2)/3 - k(k+1)/3
(k+1)(k+2) = (k+1)(k+1) + k*(k+1)
(k+1)(k+2)/3 = ((k+1)(k+1) + k*(k+1))/3
(k+1)*(k+2)/3 = (k+1)((k+1) + k)/3
(k+1)*(k+2)/3 = (k+1)(2k+1)/3
Yang benar-benar True.
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa rumus di atas benar untuk semua bilangan asli n.
Penerapan
Rumus ini dapat diterapkan dalam berbagai bidang, seperti kombinatorik, teori graf, dan analisis numerik. Misalnya, dalam kombinatorik, rumus ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah cara memilih elemen dari suatu himpunan.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas dan membuktikan sebuah rumus matematika yang belang dalam deret aritmatika spesial. Rumus ini dapat diterapkan dalam berbagai bidang dan cukup penting dalam matematika.
