Rumus Besar: 1+1/2+1/3+...+1/n = 2n/(n+1)
Pada artikel ini, kita akan membahas tentang rumus besar yang digunakan dalam matematika, yaitu:
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = 2n/(n+1)
Rumus ini biasanya digunakan dalam perkuliahan aljabar dan analisis, tetapi kita akan membahasnya secara lebih sempit dan membuktikan kebenarannya.
Bukti Rumus
Untuk membuktikan kebenaran rumus di atas, kita dapat menggunakan teknik induksi matematika. Teknik ini digunakan untuk membuktikan bahwa rumus itu berlaku untuk setiap nilai n.
Basis Induksi
Pertama-tama, kita akan membuktikan bahwa rumus tersebut berlaku untuk n = 1.
1 = 2(1)/(1+1) 1 = 1
Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa rumus tersebut berlaku untuk n = 1.
Induksi
Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa jika rumus tersebut berlaku untuk n = k, maka rumus tersebut juga berlaku untuk n = k + 1.
Anggaplah rumus tersebut berlaku untuk n = k, maka kita dapat menulis:
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k = 2k/(k+1)
Sekarang, kita akan menunjukkan bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk n = k + 1.
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k + 1/(k+1) = ?
Kita dapat menulis:
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k + 1/(k+1) = 2k/(k+1) + 1/(k+1) = (2k + 1)/(k+1) = 2(k+1)/(k+2)
Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa rumus tersebut juga berlaku untuk n = k + 1.
Kesimpulan
Dengan menggunakan teknik induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa rumus 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = 2n/(n+1) berlaku untuk setiap nilai n. Rumus ini sangat berguna dalam beberapa bidang matematika, seperti aljabar dan analisis.
