.jpeg "1+2+3+...+n=1/2n(n+1)")
Rumus Matematika: 1+2+3+...+n = 1/2n(n+1)
Pada artikel ini, kita akan membahas salah satu rumus matematika yang paling populer dan berguna dalam berbagai bidang, yakni rumus penjumlahan deret aritmatika. Rumus ini dikenal sebagai rumus Gauss, dinamai dari seorang ahli matematika Jerman Carl Friedrich Gauss.
Rumus Gauss
Rumus Gauss dirumuskan sebagai berikut:
1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n+1)
Rumus ini menunjukkan bahwa penjumlahan dari bilangan bulat positif pertama hingga bilangan bulat positif ke-n dapat dihitung dengan menggunakan rumus di atas.
Contoh Penggunaan Rumus
Misalnya, kita ingin menghitung penjumlahan dari 1 hingga 10. Maka kita dapat menggunakan rumus Gauss sebagai berikut:
1 + 2 + 3 + ... + 10 = 1/2 × 10 × (10+1) = 1/2 × 10 × 11 = 55
Dengan demikian, kita dapat menghitung bahwa penjumlahan dari 1 hingga 10 adalah 55.
Bukti Rumus
Rumus Gauss dapat dibuktikan dengan menggunakan metode induksi matematika. Langkah-langkah untuk membuktikan rumus ini adalah sebagai berikut:
Basis induksi
Kita akan membuktikan bahwa rumus Gauss benar untuk n = 1.
1 = 1/2 × 1 × (1+1) = 1
Langkah induksi
Kita akan membuktikan bahwa jika rumus Gauss benar untuk n = k, maka rumus Gauss juga benar untuk n = k + 1.
Misalnya, kita memiliki:
1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 × k × (k+1)
Sekarang kita tambahkan k + 1 ke kedua sisi persamaan di atas.
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 1/2 × k × (k+1) + (k+1)
Dengan melakukan penyederhanaan, kita dapat mendapatkan:
1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = 1/2 × (k+1) × ((k+1)+1)
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa rumus Gauss benar untuk n = k + 1.
Kesimpulan
Rumus Gauss adalah salah satu rumus matematika yang paling berguna dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, ekonomi, dan sebagainya. Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung penjumlahan dari bilangan bulat positif pertama hingga bilangan bulat positif ke-n dengan lebih cepat dan efisien.
