Rumus dan Pembuktian a³ - b³
Rumus a³ - b³ adalah rumus aljabar yang digunakan untuk memfaktorkan selisih dua kubus. Rumus ini menyatakan bahwa selisih dua kubus dapat difaktorkan menjadi hasil kali dari selisih kedua pangkat tiga dengan jumlah dari kuadrat dari kedua pangkat tiga tersebut.
Rumus:
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Pembuktian:
Untuk membuktikan rumus ini, kita dapat menggunakan perkalian distributif. Kita akan mengalikan faktor-faktor pada sisi kanan persamaan untuk mendapatkan sisi kiri persamaan:
(a - b)(a² + ab + b²) = a(a² + ab + b²) - b(a² + ab + b²)
Selanjutnya, kita akan mendistribusikan a dan b:
= a³ + a²b + ab² - ba² - ab² - b³
Setelah itu, kita dapat menyederhanakan persamaan dengan menghilangkan suku-suku yang saling menghilangkan:
= a³ - b³
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Contoh Penggunaan:
Contoh 1:
Faktorkan ekspresi 8x³ - 27y³.
Penyelesaian:
Kita dapat mengenali bahwa 8x³ = (2x)³ dan 27y³ = (3y)³.
Dengan demikian, kita dapat menggunakan rumus a³ - b³ dengan a = 2x dan b = 3y:
8x³ - 27y³ = (2x - 3y)( (2x)² + (2x)(3y) + (3y)²)
= (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)
Contoh 2:
Hitung nilai 125 - 64.
Penyelesaian:
Kita dapat mengenali bahwa 125 = 5³ dan 64 = 4³.
Dengan demikian, kita dapat menggunakan rumus a³ - b³ dengan a = 5 dan b = 4:
125 - 64 = (5 - 4)( 5² + (5)(4) + 4²)
= (1)(25 + 20 + 16)
= 61
Kesimpulan:
Rumus a³ - b³ adalah alat yang berguna untuk memfaktorkan selisih dua kubus. Rumus ini dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar dan untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika.
