Mengapa Rank dari A^2 Lebih Kecil atau Sama dengan Rank dari A
Dalam aljabar linear, rank dari sebuah matriks merepresentasikan jumlah kolom linier independen dalam matriks tersebut. Rank juga merupakan dimensi dari ruang kolom matriks. Mari kita bahas hubungan antara rank dari sebuah matriks A dan rank dari kuadratnya, A^2.
Teorema: Rank dari A^2 lebih kecil atau sama dengan rank dari A.
Bukti:
-
Ruang kolom A^2 adalah subset dari ruang kolom A: Jika x berada dalam ruang kolom A^2, maka x = A^2y untuk beberapa vektor y. Ini dapat ditulis ulang sebagai x = A(Ay). Karena Ay adalah vektor, x juga merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom A. Oleh karena itu, x berada dalam ruang kolom A.
-
Dimensi ruang kolom A^2 lebih kecil atau sama dengan dimensi ruang kolom A: Karena ruang kolom A^2 adalah subset dari ruang kolom A, dimensinya tidak dapat melebihi dimensi ruang kolom A.
-
Rank A^2 lebih kecil atau sama dengan rank A: Rank dari sebuah matriks sama dengan dimensi ruang kolomnya. Karena dimensi ruang kolom A^2 lebih kecil atau sama dengan dimensi ruang kolom A, maka rank dari A^2 juga lebih kecil atau sama dengan rank dari A.
Kesimpulan:
Teorema ini menunjukkan bahwa mengkuadratkan sebuah matriks tidak dapat meningkatkan ranknya. Rank dari A^2 mungkin sama dengan rank dari A, atau lebih kecil.
Contoh:
-
Contoh 1: Jika A adalah matriks singular (rank A < jumlah kolom A), maka A^2 juga akan singular dan rank A^2 = rank A.
-
Contoh 2: Perhatikan matriks berikut:
A = [[1, 2], [3, 6]]Rank A = 1, karena kolom kedua adalah kelipatan dari kolom pertama. A^2 =
[[7, 14], [21, 42]]Rank A^2 = 1, karena kolom kedua A^2 juga merupakan kelipatan dari kolom pertama.
Penting untuk diingat bahwa:
- Rank dari A^2 dapat lebih kecil dari rank dari A jika A memiliki kolom-kolom yang linier dependen.
- Jika A adalah matriks nonsingular (rank A = jumlah kolom A), maka rank A^2 juga akan sama dengan jumlah kolom A.
