Membuktikan Identitas: a² (1 + b²) + b² (1 + c²) + c² (1 + a²) = 6abc
Identitas ini adalah sebuah pernyataan matematis yang menyatakan bahwa ekspresi di sebelah kiri selalu sama dengan ekspresi di sebelah kanan, untuk semua nilai a, b, dan c. Untuk membuktikan identitas ini, kita akan menggunakan langkah-langkah aljabar berikut:
1. Ekspansi:
Mulailah dengan mengekspansi ruas kiri persamaan:
a² (1 + b²) + b² (1 + c²) + c² (1 + a²) = a² + a²b² + b² + b²c² + c² + c²a²
2. Pengelompokan:
Kelompokkan suku-suku yang memiliki variabel yang sama:
(a² + b² + c²) + (a²b² + b²c² + c²a²)
3. Mengakali ruas kanan:
Perhatikan ruas kanan, yaitu 6abc. Kita bisa menyatakannya sebagai:
6abc = 2abc + 2abc + 2abc
4. Membangun hubungan:
Sekarang, kita akan mencoba mencari hubungan antara ruas kiri dan ruas kanan. Perhatikan bahwa:
- (a² + b² + c²) = (a² + 2ab + b²) + (b² + 2bc + c²) + (c² + 2ac + a²) - 6abc
- (a²b² + b²c² + c²a²) = (ab)² + (bc)² + (ac)²
Substitusikan kedua hubungan ini ke dalam ruas kiri:
[(a² + 2ab + b²) + (b² + 2bc + c²) + (c² + 2ac + a²) - 6abc] + [(ab)² + (bc)² + (ac)²]
5. Penyederhanaan:
Sederhanakan ekspresi di atas:
(a + b)² + (b + c)² + (c + a)² - 6abc + (ab)² + (bc)² + (ac)²
6. Pembuktian:
Perhatikan bahwa (a + b)² + (b + c)² + (c + a)² selalu bernilai positif, begitu juga dengan (ab)² + (bc)² + (ac)². Karena itu, ruas kiri selalu lebih besar atau sama dengan -6abc.
Untuk membuktikan identitasnya, kita perlu menunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan -6abc. Hal ini hanya mungkin jika:
(a + b)² + (b + c)² + (c + a)² + (ab)² + (bc)² + (ac)² = 0
Kondisi ini hanya terpenuhi jika a = b = c = 0.
Kesimpulan:
Identitas a² (1 + b²) + b² (1 + c²) + c² (1 + a²) = 6abc hanya berlaku jika a = b = c = 0. Untuk nilai a, b, dan c lainnya, identitas ini tidak berlaku.
