Barisan Rekursi: a1=1 dan an=an−1+n untuk n≥2
Artikel ini akan membahas barisan rekursi yang didefinisikan oleh persamaan berikut:
a1 = 1 an = an−1 + n untuk n ≥ 2
Barisan rekursi adalah barisan yang setiap suku didefinisikan sebagai fungsi dari suku-suku sebelumnya. Dalam kasus ini, suku ke-n (an) didefinisikan sebagai penjumlahan dari suku sebelumnya (an-1) dan nilai n.
Contoh Penerapan
Mari kita hitung beberapa suku pertama dari barisan ini:
- a1 = 1 (diberikan)
- a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3
- a3 = a2 + 3 = 3 + 3 = 6
- a4 = a3 + 4 = 6 + 4 = 10
- a5 = a4 + 5 = 10 + 5 = 15
Dengan demikian, beberapa suku pertama dari barisan ini adalah: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Rumus Eksplisit
Meskipun definisi rekursi memberi kita cara untuk menghitung suku-suku berikutnya, rumus eksplisit akan memungkinkan kita untuk menghitung suku ke-n secara langsung tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya. Rumus eksplisit untuk barisan ini adalah:
an = n(n+1)/2
Pembuktian Rumus Eksplisit
Kita dapat membuktikan rumus ini menggunakan induksi matematika:
- Kasus dasar: Untuk n = 1, rumus eksplisit memberikan a1 = 1(1+1)/2 = 1, yang sesuai dengan definisi awal.
- Hipotesis induktif: Asumsikan rumus eksplisit benar untuk beberapa nilai k ≥ 1. Artinya, ak = k(k+1)/2.
- Langkah induktif: Kita perlu menunjukkan bahwa rumus eksplisit juga benar untuk k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa ak+1 = (k+1)(k+2)/2.
Dari definisi rekursi, kita tahu bahwa ak+1 = ak + (k+1). Dengan menggunakan hipotesis induktif, kita dapat mengganti ak dengan k(k+1)/2:
ak+1 = k(k+1)/2 + (k+1)
Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, kita mendapatkan:
ak+1 = (k(k+1) + 2(k+1))/2
ak+1 = (k+1)(k+2)/2
Oleh karena itu, rumus eksplisit benar untuk k+1.
Kesimpulan
Berdasarkan prinsip induksi matematika, rumus eksplisit an = n(n+1)/2 benar untuk semua n ≥ 1. Rumus ini memberikan cara yang lebih efisien untuk menghitung suku ke-n dari barisan rekursi ini dibandingkan dengan menggunakan definisi rekursi.
