Mencari Solusi Persamaan: a(y+z)=x, b(z+x)=y, z(x+y)=z
Persamaan-persamaan a(y+z)=x, b(z+x)=y, z(x+y)=z adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari tiga variabel (x, y, z) dan tiga konstanta (a, b, z).
Mencari Solusi Sistem Persamaan
Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menggunakan berbagai metode, seperti:
- Substitusi:
- Selesaikan salah satu persamaan untuk salah satu variabel.
- Substitusikan nilai variabel tersebut ke dalam persamaan lainnya.
- Ulangi proses ini hingga mendapatkan nilai semua variabel.
- Eliminasi:
- Kalikan setiap persamaan dengan konstanta tertentu sehingga koefisien salah satu variabel sama pada dua persamaan.
- Kurangi kedua persamaan tersebut sehingga salah satu variabel tereliminasi.
- Ulangi proses ini hingga mendapatkan nilai semua variabel.
- Determinan:
- Tulis persamaan dalam bentuk matriks.
- Hitung determinan matriks koefisien.
- Gunakan rumus Cramer untuk menentukan nilai setiap variabel.
Contoh Penyelesaian
Mari kita cari solusi sistem persamaan dengan menggunakan metode substitusi:
-
Selesaikan persamaan pertama untuk x: x = a(y + z)
-
Substitusikan nilai x ke dalam persamaan kedua: b(z + a(y + z)) = y bz + aby + abz = y
-
Selesaikan persamaan kedua untuk y: y = bz + aby + abz
-
Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan ketiga: z(a(y + z) + bz + aby + abz) = z az(y + z) + bz(z + ay + ab) = z
-
Sederhanakan persamaan dan selesaikan untuk z: az(y + z) + bz(z + ay + ab) - z = 0 azy + az^2 + bzz + abzy + ab^2z - z = 0 z(azy + az^2 + bzz + abzy + ab^2z - 1) = 0
-
Karena z tidak boleh nol (lihat persamaan ketiga), maka: azy + az^2 + bzz + abzy + ab^2z - 1 = 0
-
Selesaikan persamaan ini untuk z. Perhatikan bahwa solusi ini akan tergantung pada nilai a dan b.
-
Substitusikan nilai z ke dalam persamaan kedua dan selesaikan untuk y.
-
Substitusikan nilai z dan y ke dalam persamaan pertama dan selesaikan untuk x.
Perhatikan bahwa solusi sistem persamaan ini mungkin tidak selalu unik dan tergantung pada nilai konstanta a dan b.
