Menyelesaikan Persamaan $ \frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} = \frac{2c}{x-c} $ dengan Rumus Kuadrat
Persamaan ini merupakan persamaan rasional yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat. Berikut langkah-langkahnya:
-
Menyatukan penyebut:
- Kalikan setiap suku dengan penyebut dari suku lainnya.
- Kita dapatkan:
$ \frac{a(x-b)(x-c)}{(x-a)(x-b)(x-c)} + \frac{b(x-a)(x-c)}{(x-a)(x-b)(x-c)} = \frac{2c(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-b)(x-c)} $
-
Menghilangkan penyebut:
- Karena penyebutnya sama, kita dapat menghilangkannya.
- Kita dapatkan:
$ a(x-b)(x-c) + b(x-a)(x-c) = 2c(x-a)(x-b) $
-
Mengembangkan persamaan:
- Kalikan setiap suku dan susun persamaan dalam bentuk persamaan kuadrat.
- Kita dapatkan:
$ ax^2 - (a+b)xc + ab(c-x) + bx^2 - (a+b)xc + ab(c-x) = 2cx^2 - 2c(a+b)x + 2abc $
$ (a+b)x^2 - 2(a+b)xc + 2ab(c-x) - 2cx^2 + 2c(a+b)x - 2abc = 0 $
$ (a+b-2c)x^2 - 2(a+b)cx + 2abc - 2abx = 0 $
-
Menggunakan Rumus Kuadrat:
- Persamaan tersebut sekarang berbentuk persamaan kuadrat dengan koefisien $a = a+b-2c$, $b = -2(a+b)c$, dan $c = 2abc - 2abx$.
- Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari solusi $x$:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x = \frac{2(a+b)c \pm \sqrt{(-2(a+b)c)^2 - 4(a+b-2c)(2abc - 2abx)}}{2(a+b-2c)}$
$x = \frac{(a+b)c \pm \sqrt{(a+b)^2c^2 - 2(a+b-2c)(abc - abx)}}{a+b-2c}$
-
Solusi:
- Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai $x$.
Catatan:
- Persamaan ini memiliki dua solusi, sesuai dengan rumus kuadrat.
- Ada kemungkinan bahwa salah satu atau kedua solusi tersebut tidak valid, jika solusi tersebut menghasilkan nilai yang membuat penyebut persamaan awal menjadi nol.
Dengan mengikuti langkah-langkah ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan rasional yang diberikan dengan menggunakan rumus kuadrat.
