Mengapa a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) = 2?
Persamaan a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) = 2 merupakan sebuah persamaan yang menarik dan memiliki beberapa cara untuk membuktikannya. Berikut adalah beberapa pendekatan yang dapat kita gunakan:
1. Menggunakan Persamaan Cauchy-Schwarz
Persamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk vektor real u dan v, berlaku:
**(u · v)**² ≤ (u²)(v²), di mana · menyatakan perkalian dot.
Dengan menggunakan persamaan ini, kita dapat membuktikan persamaan awal sebagai berikut:
(1) Kuadratkan kedua sisi persamaan:
[(a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b)]² = 2²
(2) Uraikan kuadrat:
a²/(b+c)² + b²/(c+d)² + c²/(d+a)² + d²/(a+b)² + 2[ab/((b+c)(c+d)) + ac/((b+c)(d+a)) + ad/((b+c)(a+b)) + bc/((c+d)(d+a)) + bd/((c+d)(a+b)) + cd/((d+a)(a+b))] = 4
(3) Perhatikan bahwa suku di dalam kurung merupakan perkalian dot dari dua vektor:
- u = (√(a/(b+c)), √(b/(c+d)), √(c/(d+a)), √(d/(a+b)))
- v = (√(b/(b+c)), √(c/(c+d)), √(d/(d+a)), √(a/(a+b)))
(4) Terapkan persamaan Cauchy-Schwarz:
**(u · v)**² ≤ (u²)(v²)
[ab/((b+c)(c+d)) + ac/((b+c)(d+a)) + ad/((b+c)(a+b)) + bc/((c+d)(d+a)) + bd/((c+d)(a+b)) + cd/((d+a)(a+b))]² ≤ [a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b)][b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+a) + a/(a+b)]
(5) Perhatikan bahwa suku di sebelah kanan persamaan Cauchy-Schwarz sama dengan 4:
[a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b)][b/(b+c) + c/(c+d) + d/(d+a) + a/(a+b)] = 4
(6) Substitusikan persamaan Cauchy-Schwarz ke dalam persamaan (2):
a²/(b+c)² + b²/(c+d)² + c²/(d+a)² + d²/(a+b)² + 4 ≤ 4
(7) Sederhanakan persamaan:
a²/(b+c)² + b²/(c+d)² + c²/(d+a)² + d²/(a+b)² ≤ 0
(8) Karena kuadrat selalu positif, maka persamaan (7) hanya terpenuhi jika semua suku bernilai nol:
a²/(b+c)² = b²/(c+d)² = c²/(d+a)² = d²/(a+b)² = 0
(9) Karena a, b, c, dan d adalah bilangan real, maka persamaan (8) hanya terpenuhi jika:
a = b = c = d = 0
(10) Substitusikan nilai a = b = c = d = 0 ke dalam persamaan awal, maka persamaan tersebut terpenuhi:
0/(0+0)+0/(0+0)+0/(0+0)+0/(0+0) = 2
(11) Karena persamaan hanya terpenuhi untuk a = b = c = d = 0, maka persamaan a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) = 2 tidak berlaku untuk semua nilai a, b, c, dan d.
2. Menggunakan Konsep Simetri
Persamaan a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) = 2 memiliki sifat simetris. Artinya, jika kita menukar nilai a, b, c, dan d, maka persamaan tetap berlaku.
Kita dapat memanfaatkan sifat simetris ini untuk mempermudah proses pembuktian.
(1) Misalkan x = a/(b+c), y = b/(c+d), z = c/(d+a), dan w = d/(a+b).
(2) Substitusikan nilai x, y, z, dan w ke dalam persamaan awal:
x + y + z + w = 2
(3) Perhatikan bahwa persamaan tersebut memiliki bentuk yang sederhana dan simetris.
(4) Untuk membuktikan persamaan tersebut, kita dapat menggunakan teknik induksi matematika atau mencoba mencari nilai x, y, z, dan w yang memenuhi persamaan.
Namun, dengan menggunakan pendekatan simetri, kita tidak dapat menemukan bukti yang berlaku untuk semua nilai a, b, c, dan d.
Kesimpulan
Persamaan a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) = 2 tidak berlaku untuk semua nilai a, b, c, dan d. Persamaan tersebut hanya terpenuhi untuk kasus khusus a = b = c = d = 0.
Meskipun tidak berlaku secara umum, persamaan tersebut tetap menarik karena sifat simetrisnya dan dapat dipelajari dengan menggunakan berbagai teknik matematika.
