Mengapa a(a+1)(a+2)(a+3)+1 Selalu Merupakan Kuadrat Sempurna?
Ekspresi a(a+1)(a+2)(a+3)+1 memiliki sifat menarik: selalu menghasilkan kuadrat sempurna untuk nilai integer a apa pun. Mari kita bahas mengapa hal ini terjadi.
Langkah-langkah Pembuktian
-
Perluas Ekspresi: Mulailah dengan mengalikan faktor-faktor dalam ekspresi:
a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 = (a² + a)(a² + 5a + 6) + 1
= a⁴ + 6a³ + 11a² + 6a + 1
-
Manipulasi Ekspresi: Ubah ekspresi tersebut menjadi bentuk yang lebih mudah dikenali:
a⁴ + 6a³ + 11a² + 6a + 1 = (a² + 3a + 1)²
-
Kesimpulan: Karena ekspresi tersebut dapat ditulis dalam bentuk kuadrat dari (a² + 3a + 1), kita dapat menyimpulkan bahwa a(a+1)(a+2)(a+3)+1 selalu merupakan kuadrat sempurna untuk nilai integer a apa pun.
Contoh
Mari kita uji dengan beberapa nilai a:
- a = 2: 2(2+1)(2+2)(2+3) + 1 = 210 + 1 = 211 = (2² + 3(2) + 1)² = 11²
- a = -3: -3(-3+1)(-3+2)(-3+3) + 1 = 0 + 1 = 1 = (-3² + 3(-3) + 1)² = 1²
Kesimpulan
Seperti yang terlihat, a(a+1)(a+2)(a+3)+1 selalu menghasilkan kuadrat sempurna untuk setiap nilai integer a. Hal ini karena ekspresi tersebut dapat diubah menjadi bentuk kuadrat (a² + 3a + 1)².
