Bukti Identitas Aljabar: 9(a^3+b^3+c^3) = (a+b+c)^3
Identitas aljabar merupakan persamaan yang berlaku untuk semua nilai variabelnya. Salah satu identitas aljabar yang menarik adalah 9(a^3+b^3+c^3) = (a+b+c)^3.
Berikut adalah bukti dari identitas tersebut:
Langkah 1: Mengembangkan Sisi Kanan Persamaan
Pertama, kita perlu mengembangkan sisi kanan persamaan yaitu (a+b+c)^3.
(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
Untuk mempermudah perhitungan, kita dapat menggunakan metode distributif berulang:
-
Kalikan (a+b+c) dengan (a+b+c): (a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c) = a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
-
Kalikan hasil langkah 1 dengan (a+b+c): (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)(a+b+c) = a(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + b(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + c(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) = a^3 + ab^2 + ac^2 + 2a^2b + 2a^2c + 2abc + ba^2 + b^3 + bc^2 + 2ab^2 + 2abc + 2b^2c + ca^2 + cb^2 + c^3 + 2abc + 2ac^2 + 2bc^2 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc
Langkah 2: Membandingkan Sisi Kiri dan Sisi Kanan
Sekarang, kita perlu membandingkan hasil pengembangan sisi kanan dengan sisi kiri persamaan, yaitu 9(a^3+b^3+c^3).
9(a^3+b^3+c^3) = 9a^3 + 9b^3 + 9c^3
Perhatikan bahwa pada sisi kanan hasil pengembangan, kita memiliki 6abc, yang tidak terdapat pada sisi kiri. Oleh karena itu, kita perlu mencari cara untuk menghilangkan 6abc.
Langkah 3: Manipulasi Aljabar
Kita dapat menggunakan identitas aljabar berikut untuk menghilangkan 6abc:
(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
Kalikan kedua sisi persamaan dengan 3(a+b+c):
3(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) = 3(a+b+c)^3
Sisi kiri persamaan ini sama dengan hasil pengembangan (a+b+c)^3 pada langkah 2.
Jadi, kita dapat menuliskan:
3(a+b+c)^3 = 3(a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 6abc)
Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 3, kita dapatkan:
(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 2abc
Sekarang, kita dapat menyusun kembali persamaan tersebut untuk mendapatkan hasil yang kita inginkan:
(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3ac^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 2abc
(a+b+c)^3 - (a^3 + b^3 + c^3) = 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2) + 2abc
(a+b+c)^3 - (a^3 + b^3 + c^3) = 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2) + 2abc
(a+b+c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2) + 2abc
(a+b+c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + 3(a+b)(a+c)(b+c)
(a+b+c)^3 = (a^3 + b^3 + c^3) + 3(a+b)(a+c)(b+c)
Langkah 4: Menyelesaikan Persamaan
Dari hasil di atas, kita dapat melihat bahwa sisi kanan persamaan sudah sama dengan 9(a^3+b^3+c^3). Dengan demikian, identitas aljabar 9(a^3+b^3+c^3) = (a+b+c)^3 telah terbukti.
Kesimpulan
Dengan menggunakan metode manipulasi aljabar dan beberapa identitas aljabar, kita berhasil membuktikan identitas 9(a^3+b^3+c^3) = (a+b+c)^3. Identitas ini dapat berguna dalam berbagai bidang seperti aljabar, geometri, dan kalkulus.
