Menghitung Ekspresi Logaritmis: 7*log(16/15) + 5*log(25/24) + 3*log(81/80)
Pada artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung ekspresi logaritmis yang kompleks. Ekspresi yang akan kita hitung adalah:
$7*log\left(\frac{16}{15}\right) + 5*log\left(\frac{25}{24}\right) + 3*log\left(\frac{81}{80}\right)$
Logaritma dan Sifat-Sifatnya
Sebelum kita mulai menghitung, perlu kita ingat kembali tentang logaritma dan sifat-sifatnya. Logaritma adalah operasi matematika yang berkebalikan dengan eksponensial. Jika kita memiliki Persamaan:
$a^b = c$
Maka, kita dapat menulisnya dalam bentuk logaritma sebagai:
$log_a(c) = b$
Sifat-sifat logaritma yang penting untuk diingat adalah:
- Logaritma dengan basis yang sama dapat dijumlahkan
$log(a) + log(b) = log(ab)$
- Logaritma dengan basis yang sama dapat dikalikan
$k*log(a) = log(a^k)$
Menghitung Ekspresi Logaritmis
Kembali ke ekspresi yang kita ingin hitung. Pertama, kita akan menghitung setiap bagian secara terpisah.
Bagian 1: 7*log(16/15)
Kita dapat menulisnya sebagai:
$7*log\left(\frac{16}{15}\right) = 7*log\left(\frac{2^4}{3*5}\right)$
Menggunakan sifat logaritma, kita dapat menulisnya sebagai:
$7*log\left(\frac{2^4}{3*5}\right) = 7*(log(2^4) - log(3*5))$
$= 28*log(2) - 7*log(3) - 7*log(5)$
Bagian 2: 5*log(25/24)
Kita dapat menulisnya sebagai:
$5*log\left(\frac{25}{24}\right) = 5*log\left(\frac{5^2}{2^3*3}\right)$
Menggunakan sifat logaritma, kita dapat menulisnya sebagai:
$5*log\left(\frac{5^2}{2^3*3}\right) = 5*(2*log(5) - 3*log(2) - log(3))$
Bagian 3: 3*log(81/80)
Kita dapat menulisnya sebagai:
$3*log\left(\frac{81}{80}\right) = 3*log\left(\frac{3^4}{2^4*5}\right)$
Menggunakan sifat logaritma, kita dapat menulisnya sebagai:
$3*log\left(\frac{3^4}{2^4*5}\right) = 3*(4*log(3) - 4*log(2) - log(5))$
Hasil Akhir
Sekarang, kita dapat menjumlahkan setiap bagian untuk mendapatkan hasil akhir.
$7*log\left(\frac{16}{15}\right) + 5*log\left(\frac{25}{24}\right) + 3*log\left(\frac{81}{80}\right)$
$= 28*log(2) - 7*log(3) - 7*log(5) + 10*log(5) - 15*log(2) - 5*log(3) + 12*log(3) - 12*log(2) - 3*log(5)$
$= log(2) + 0*log(3) + 0*log(5)$
$= \boxed{log(2)}$
Maka, hasil akhir dari ekspresi logaritmis adalah log(2).
