Rumus 1+3+5+7+9+...+n
Rumus 1+3+5+7+9+...+n merupakan rumus matematika yang digunakan untuk menjumlahkan bilangan ganjil yang berurutan. Rumus ini biasa disebut sebagai "sum of consecutive odd numbers" atau "jumlah bilangan ganjil berurutan".
Rumus
Rumus untuk menjumlahkan bilangan ganjil berurutan adalah: $1 + 3 + 5 + ... + n = \frac{n(n+2)}{2}$
Contoh
Misalnya, kita ingin menjumlahkan bilangan ganjil hingga 15. Berikut ini adalah perhitungan menggunakan rumus di atas: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = \frac{8(8+2)}{2} = 64$
Pembuktian
Rumus ini dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika. Misalnya, kita akan membuktikan bahwa: $1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = \frac{k(k+1)}{2}$
Buktinya adalah sebagai berikut:
- Basis induksi: untuk k = 1, maka: $1 = \frac{1(1+1)}{2}$
- Induksi: asumsikan bahwa untuk k = n, maka: $1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = \frac{n(n+1)}{2}$
- Langkah induksi: untuk k = n+1, maka: $1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)) + (2n+1)$ $= \frac{n(n+1)}{2} + (2n+1)$ $= \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa rumus tersebut benar.
Aplikasi
Rumus 1+3+5+7+9+...+n memiliki banyak aplikasi dalam matematika dan ilmu lainnya, seperti dalam kombinatorik, statistik, dan fisika. Rumus ini juga dapat digunakan untuk menjumlahkan bilangan ganjil dalam suatu deret arbiter.
Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang rumus 1+3+5+7+9+...+n dan membuktikan kebenarannya menggunakan induksi matematika. Rumus ini sangat berguna dalam menjumlahkan bilangan ganjil berurutan dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang.
