dy%2Fdx%2B4xy%3Dx.jpeg "(x^2+1)dy/dx+4xy=x")
Persamaan Diferensial Linear: (x^2+1)dy/dx+4xy=x
Persamaan diferensial linear adalah salah satu jenis persamaan diferensial yang paling umum digunakan dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, ekonomi, dan lain-lain. Pada artikel ini, kita akan membahas tentang persamaan diferensial linear berikut:
(x^2+1)dy/dx+4xy=x
Definisi Persamaan Diferensial Linear
Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk:
dy/dx + P(x)y = Q(x)
di mana P(x) dan Q(x) adalah fungsi dari x. Persamaan ini disebut linear karena derajat tertinggi dari variabel dependen y adalah 1.
Metode Penggunaan untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linear
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear, kita dapat menggunakan metode Integrasi Faktor. Metode ini melibatkan mengalikan kedua sisi persamaan dengan faktor integrasi, yang kemudian diintegrasikan untuk mendapatkan solusi.
Contoh: Menyelesaikan (x^2+1)dy/dx+4xy=x
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear di atas, kita dapat menggunakan metode Integrasi Faktor. Pertama, kita tuliskan persamaan dalam bentuk standar:
(x^2+1)dy/dx + 4xy = x
Kemudian, kita mencari faktor integrasi dengan menggunakan rumus:
μ(x) = e^∫P(x)dx
di mana P(x) = 4x/(x^2+1). Dengan mengintegrasikan P(x), kita dapatkan:
μ(x) = e^(2arctan(x))
Selanjutnya, kita kalikan kedua sisi persamaan dengan faktor integrasi:
e^(2arctan(x))(x^2+1)dy/dx + 4xe^(2arctan(x))y = xe^(2arctan(x))
Sekarang, kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan untuk mendapatkan solusi:
∫(x^2+1)e^(2arctan(x))dy/dx = ∫xe^(2arctan(x))dx
Dengan melakukan integrasi, kita dapatkan:
ye^(2arctan(x)) = (1/2)x^2e^(2arctan(x)) + C
Akhirnya, kita dapatkan solusi untuk persamaan diferensial linear di atas:
y = (1/2)x^2 + Ce^(-2arctan(x))
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang persamaan diferensial linear dan cara menyelesaikannya menggunakan metode Integrasi Faktor. Kita juga telah menyelesaikan contoh persamaan diferensial linear (x^2+1)dy/dx+4xy=x dan mendapatkan solusinya. Persamaan diferensial linear memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang, sehingga memahami cara menyelesaikannya sangat penting dalam menghadapi berbagai masalah yang terkait dengan persamaan diferensial.
