dy%2Fdx%2B4xy%3D1%2F(x%5E2%2B1)%5E2.jpeg "(x^2+1)dy/dx+4xy=1/(x^2+1)^2")
Pendahuluan
Persamaan differensial linear adalah salah satu jenis persamaan differensial yang paling umum digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, seperti fisika, teknik, ekonomi, dan lain-lain. Pada artikel ini, kita akan membahas tentang persamaan differensial linear berikut:
$(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\frac{1}{(x^2+1)^2}$
Metode Penyelesaian
Untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas, kita dapat menggunakan metode variabel terpisah. Langkah pertama adalah mengalikan kedua sisi persamaan dengan $(x^2+1)^2$ untuk menghilangkan pecahan:
$(x^2+1)^2\frac{dy}{dx}+4x(x^2+1)y=1$
Kemudian, kita dapat menulis persamaan di atas dalam bentuk standar persamaan differensial linear:
$\frac{dy}{dx}+4x\frac{y}{x^2+1}=\frac{1}{(x^2+1)^2}$
Penggunaan Rumus Integrasi
Rumus integrasi yang sesuai untuk persamaan differensial linear di atas adalah:
$y=e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$
Dalam hal ini, kita memiliki:
$P(x)=4x\frac{1}{x^2+1}=\frac{4x}{x^2+1}$
$Q(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2}$
Maka, kita dapat menulis:
$y=e^{-\int \frac{4x}{x^2+1}dx}\int \frac{1}{(x^2+1)^2}e^{\int \frac{4x}{x^2+1}dx}dx+C$
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan integral di atas, kita dapat menggunakan substitusi $u=x^2+1$, maka $du=2xdx$. Kemudian, kita dapat menulis:
$y=e^{-2\tan^{-1}x}\int \frac{1}{u^2}e^{2\tan^{-1}x}du+C$
Dengan menggunakan substitusi lagi, kita dapat menulis:
$y=e^{-2\tan^{-1}x}\left(-\frac{1}{u}e^{2\tan^{-1}x}\right)+C$
Maka, kita dapat menulis solusi umum dari persamaan differensial di atas adalah:
$y=\frac{C}{x^2+1}-\frac{1}{(x^2+1)^2}$
Kesimpulan
Pada artikel ini, kita telah membahas tentang persamaan differensial linear $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\frac{1}{(x^2+1)^2}$ dan menyelesaikannya menggunakan metode variabel terpisah dan rumus integrasi. Solusi umum dari persamaan differensial di atas adalah $y=\frac{C}{x^2+1}-\frac{1}{(x^2+1)^2}$.
