(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3−3(a+b)(b+c)(c+a)=2(a3+b3+c3−3abc)

Suzhoumeite

4 min read

·

Jul 03, 2024

54

Share

Identitas Aljabar: (a+b)³+(b+c)³+(c+a)³-3(a+b)(b+c)(c+a) = 2(a³+b³+c³-3abc)

Pengenalan

Dalam aljabar, identitas-identitas tertentu dapat digunakan untuk memperlancar perhitungan dan penggunaan rumus-rumus yang lebih sederhana. Salah satu identitas yang penting adalah identitas yang dirumuskan sebagai berikut:

$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) = 2(a^3+b^3+c^3-3abc)$

Banyak siswa yang masih bingung dengan identitas ini dan ingin mengetahui bagaimana cara membuktikannya. Oleh karena itu, dalam artikel ini kita akan membahas tentang identitas ini dan membuktikannya secara langkah demi langkah.

Bukti Identitas

Untuk membuktikan identitas di atas, kita perlu mengembangkan setiap bagian dari identitas tersebut. Mari kita mulai dengan mengembangkan $(a+b)^3$ menggunakan rumus binomial:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Kemudian, kita mengembangkan $(b+c)^3$:

$(b+c)^3 = b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3$

Selanjutnya, kita mengembangkan $(c+a)^3$:

$(c+a)^3 = c^3 + 3c^2a + 3ca^2 + a^3$

Sekarang, kita dapat menyusun ketiga pengembangan tersebut:

$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3) + (c^3 + 3c^2a + 3ca^2 + a^3)$

Kita dapat menggabungkan suku-suku yang sama:

$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3 = 3a^3 + 3b^3 + 3c^3 + 9a^2b + 9b^2c + 9c^2a + 18abc$

Selanjutnya, kita perlu mengembangkan $-3(a+b)(b+c)(c+a)$:

$-3(a+b)(b+c)(c+a) = -3(a(b^2 + bc + c^2) + b(bc + c^2 + ca) + c(ca + a^2 + ab))$

$= -3(ab^2 - a^2b - bc^2 + a^2c + abc - bca + bac - c^2a + ac^2)$

$= -3(abc - abc + a^2c - bc^2 - c^2a + a^2b + b^2c + c^2b)$

$= -3(a^2b + b^2c + c^2a - abc - abc - abc)$

$= -3(a^2b + b^2c + c^2a - 3abc)$

Sekarang, kita dapat menyusun kedua hasil di atas:

$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) = 3a^3 + 3b^3 + 3c^3 + 9a^2b + 9b^2c + 9c^2a + 18abc - 3(a^2b + b^2c + c^2a - 3abc)$

$= 3a^3 + 3b^3 + 3c^3 - 3a^2b - 3b^2c - 3c^2a + 6abc$

$= 2(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$

Kesimpulan

Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa identitas $(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(c+a) = 2(a^3+b^3+c^3-3abc)$ adalah benar. Identitas ini dapat digunakan dalam berbagai aplikasi aljabar dan anal