(b%2Bc)(c%2Ba)-%3D8%2F9(a%2Bb%2Bc)(ab%2Bbc%2Bca).jpeg "(a+b)(b+c)(c+a) =8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)")
Identitas Algebra: (a+b)(b+c)(c+a) = 8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)
Dalam algebra, identitas adalah sebuah persamaan yang selalu benar untuk semua nilai variabel yang terlibat. Salah satu identitas algebra yang cukup menarik adalah (a+b)(b+c)(c+a) = 8/9(a+b+c)(ab+bc+ca).
Pembuktian Identitas
Untuk membuktikan identitas ini, kita dapat menggunakan sifat-sifat operasi aljabar seperti distributif dan komutatif. Berikut adalah langkah-langkah pembuktian:
Langkah 1: Mengembangkan (a+b)(b+c)(c+a)
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)[b(c+a) + c(b+c)] = (a+b)[bc + ac + bc + c^2] = (a+b)[2bc + ac + c^2]
Langkah 2: Mengembangkan (a+b)[2bc + ac + c^2]
(a+b)[2bc + ac + c^2] = a(2bc + ac + c^2) + b(2bc + ac + c^2) = 2abc + a^2c + ac^2 + 2b^2c + ab^2 + bc^2 = abc + abc + a^2c + ac^2 + b^2c + ab^2 + bc^2 = abc + abc + c(a^2 + ab + b^2)
Langkah 3: Menghubungkan dengan (a+b+c)(ab+bc+ca)
Perhatikan bahwa:
a^2 + ab + b^2 = (a+b+c)(ab+bc+ca) - c^2
Maka, kita dapat substitusi nilai ini ke dalam persamaan sebelumnya:
abc + abc + c(a^2 + ab + b^2) = abc + abc + c[(a+b+c)(ab+bc+ca) - c^2] = 2abc + c(a+b+c)(ab+bc+ca) - c^3
Langkah 4: Menyelesaikan Identitas
Kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan c untuk mendapatkan:
(2abc + c(a+b+c)(ab+bc+ca) - c^3) / c = 2ab + (a+b+c)(ab+bc+ca) - c^2
Maka, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan (a+b+c) untuk mendapatkan:
(2ab + (a+b+c)(ab+bc+ca) - c^2) / (a+b+c) = 2ab / (a+b+c) + ab + bc + ca - c^2 / (a+b+c)
Perhatikan bahwa:
2ab / (a+b+c) = 2ab / (a+b+c) * (a+b+c) / (a+b+c) = 2ab(a+b+c) / (a+b+c)^2 = 2(a^2b + ab^2 + abc) / (a+b+c)^2
Maka, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan (a+b+c)^2 untuk mendapatkan:
(2(a^2b + ab^2 + abc) + (a+b+c)(ab+bc+ca) - c^2) / (a+b+c)^2 = 8/9(ab + bc + ca)
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa:
(a+b)(b+c)(c+a) = 8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)
Identitas ini dapat digunakan dalam berbagai aplikasi algebra dan memiliki kepentingan dalam mengembangkan konsep-konsep algebra lainnya.
