%5E5.jpeg "(a+b+c)^5")
** 확장 Binomial: (a+b+c)^5 **
Dalam matematika, ekspansi binomial adalah metode untuk memperluas potensi suatu bentuk binomial yang dikuadratkan. Salah satu contoh ekspansi binomial yang penting adalah menghitung nilai (a+b+c)^5.
** Formula Umum **
Untuk memperluas binomial (a+b+c)^n, kita dapat menggunakan formula umum:
$(a+b+c)^n = \sum_{k=0}^{n} \sum_{i=0}^{k} \frac{n!}{i!(k-i)!(n-k)!} a^{n-k} b^{k-i} c^i$
** Memperluas (a+b+c)^5 **
Bagaimana jika kita ingin memperluas (a+b+c)^5? Kita dapat menggunakan formula umum di atas dengan mengganti nilai n dengan 5.
$(a+b+c)^5 = \sum_{k=0}^{5} \sum_{i=0}^{k} \frac{5!}{i!(k-i)!(5-k)!} a^{5-k} b^{k-i} c^i$
** Menghitung Nilai **
Kita dapat menghitung nilai (a+b+c)^5 dengan menghitung nilai untuk setiap k dan i.
- Untuk k=0, kita memiliki:
- i=0: $\frac{5!}{0!0!5!} a^5 = a^5$
- Untuk k=1, kita memiliki:
- i=0: $\frac{5!}{0!1!4!} a^4 b = 5a^4 b$
- i=1: $\frac{5!}{1!0!4!} a^4 c = 5a^4 c$
- Untuk k=2, kita memiliki:
- i=0: $\frac{5!}{0!2!3!} a^3 b^2 = 10a^3 b^2$
- i=1: $\frac{5!}{1!1!3!} a^3 b c = 20a^3 b c$
- i=2: $\frac{5!}{2!0!3!} a^3 c^2 = 10a^3 c^2$
- Untuk k=3, kita memiliki:
- i=0: $\frac{5!}{0!3!2!} a^2 b^3 = 10a^2 b^3$
- i=1: $\frac{5!}{1!2!2!} a^2 b^2 c = 30a^2 b^2 c$
- i=2: $\frac{5!}{2!1!2!} a^2 b c^2 = 30a^2 b c^2$
- i=3: $\frac{5!}{3!0!2!} a^2 c^3 = 10a^2 c^3$
- Untuk k=4, kita memiliki:
- i=0: $\frac{5!}{0!4!1!} a b^4 = 5a b^4$
- i=1: $\frac{5!}{1!3!1!} a b^3 c = 20a b^3 c$
- i=2: $\frac{5!}{2!2!1!} a b^2 c^2 = 30a b^2 c^2$
- i=3: $\frac{5!}{3!1!1!} a b c^3 = 20a b c^3$
- i=4: $\frac{5!}{4!0!1!} a c^4 = 5a c^4$
- Untuk k=5, kita memiliki:
- i=0: $\frac{5!}{0!5!0!} b^5 = b^5$
- i=1: $\frac{5!}{1!4!0!} b^4 c = 5b^4 c$
- i=2: $\frac{5!}{2!3!0!} b^3 c^2 = 10b^3 c^2$
- i=3: $\frac{5!}{3!2!0!} b^2 c^3 = 10b^2 c^3
