Binomial Newton: Rumus dan Penerapan
Binomial Newton adalah sebuah rumus matematika yang digunakan untuk menentukan ekspansi dari pangkat suatu binomial, yaitu bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku. Rumus ini pertama kali ditemukan oleh Sir Isaac Newton, meskipun sebenarnya konsep ini sudah dikenal sebelumnya oleh al-Karaji dan Omar Khayyam.
Rumus Binomial Newton
Rumus binomial Newton menyatakan bahwa:
(a + b)<sup>n</sup> = <sup>n</sup>C<sub>0</sub> a<sup>n</sup>b<sup>0</sup> + <sup>n</sup>C<sub>1</sub> a<sup>n-1</sup>b<sup>1</sup> + <sup>n</sup>C<sub>2</sub> a<sup>n-2</sup>b<sup>2</sup> + ... + <sup>n</sup>C<sub>n-1</sub> a<sup>1</sup>b<sup>n-1</sup> + <sup>n</sup>C<sub>n</sub> a<sup>0</sup>b<sup>n</sup>
Dimana:
- n adalah pangkat dari binomial
- <sup>n</sup>C<sub>k</sub> adalah koefisien binomial, yang dapat dihitung menggunakan kombinasi: <sup>n</sup>C<sub>k</sub> = n! / (k! * (n-k)!)
- a dan b adalah dua suku dalam binomial
Penerapan Binomial Newton
Rumus binomial Newton memiliki banyak sekali aplikasi dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan, seperti:
- Aljabar: Untuk mengekspansi dan menyederhanakan ekspresi aljabar yang melibatkan pangkat binomial.
- Kalkulus: Untuk menghitung turunan dan integral dari fungsi yang melibatkan pangkat binomial.
- Probabilitas dan Statistik: Untuk menghitung probabilitas dari suatu kejadian dalam percobaan binomial.
- Fisika: Untuk menghitung gaya dan momen dalam sistem mekanika.
- Komputer: Untuk merancang algoritma dan program yang melibatkan perhitungan kombinasi.
Contoh Penggunaan Binomial Newton
Sebagai contoh, mari kita hitung ekspansi dari (x + 2)<sup>3</sup> menggunakan rumus binomial Newton:
(x + 2)<sup>3</sup> = <sup>3</sup>C<sub>0</sub> x<sup>3</sup>2<sup>0</sup> + <sup>3</sup>C<sub>1</sub> x<sup>2</sup>2<sup>1</sup> + <sup>3</sup>C<sub>2</sub> x<sup>1</sup>2<sup>2</sup> + <sup>3</sup>C<sub>3</sub> x<sup>0</sup>2<sup>3</sup>
Hitung koefisien binomial:
- <sup>3</sup>C<sub>0</sub> = 3! / (0! * 3!) = 1
- <sup>3</sup>C<sub>1</sub> = 3! / (1! * 2!) = 3
- <sup>3</sup>C<sub>2</sub> = 3! / (2! * 1!) = 3
- <sup>3</sup>C<sub>3</sub> = 3! / (3! * 0!) = 1
Substitusikan koefisien binomial ke dalam rumus:
(x + 2)<sup>3</sup> = 1 * x<sup>3</sup> * 1 + 3 * x<sup>2</sup> * 2 + 3 * x * 4 + 1 * 1 * 8
(x + 2)<sup>3</sup> = x<sup>3</sup> + 6x<sup>2</sup> + 12x + 8
Kesimpulan
Binomial Newton adalah rumus yang sangat penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Rumus ini memungkinkan kita untuk menghitung ekspansi dari pangkat binomial dengan mudah dan efisien. Dengan memahami rumus ini, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika dan ilmiah yang melibatkan binomial.
