Ekspansi Binomial untuk n = 1/2
Ekspansi binomial adalah rumus matematika yang memungkinkan kita untuk mengembangkan pangkat dari suatu binomial. Rumus umum untuk ekspansi binomial adalah:
(a + b)<sup>n</sup> = <sup>n</sup>C<sub>0</sub>a<sup>n</sup>b<sup>0</sup> + <sup>n</sup>C<sub>1</sub>a<sup>n-1</sup>b<sup>1</sup> + <sup>n</sup>C<sub>2</sub>a<sup>n-2</sup>b<sup>2</sup> + ... + <sup>n</sup>C<sub>n</sub>a<sup>0</sup>b<sup>n</sup>
di mana <sup>n</sup>C<sub>k</sub> adalah koefisien binomial, yang dihitung sebagai:
<sup>n</sup>C<sub>k</sub> = n! / (k! * (n-k)!)
Dalam kasus khusus n = 1/2, ekspansi binomial menjadi:
(a + b)<sup>1/2</sup> = <sup>1/2</sup>C<sub>0</sub>a<sup>1/2</sup>b<sup>0</sup> + <sup>1/2</sup>C<sub>1</sub>a<sup>-1/2</sup>b<sup>1</sup> + <sup>1/2</sup>C<sub>2</sub>a<sup>-3/2</sup>b<sup>2</sup> + ...
Untuk menghitung koefisien binomial dalam kasus ini, kita perlu menggunakan generalisasi dari rumus faktorial untuk nilai non-integer.
Rumus untuk faktorial dengan nilai non-integer:
(1/2)! = √π / 2
Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menghitung koefisien binomial untuk ekspansi binomial dengan n = 1/2.
Contoh:
Mari kita cari ekspansi binomial untuk (1 + x)<sup>1/2</sup> sampai suku ke-3.
(1 + x)<sup>1/2</sup> = <sup>1/2</sup>C<sub>0</sub>1<sup>1/2</sup>x<sup>0</sup> + <sup>1/2</sup>C<sub>1</sub>1<sup>-1/2</sup>x<sup>1</sup> + <sup>1/2</sup>C<sub>2</sub>1<sup>-3/2</sup>x<sup>2</sup> + ...
Hitung koefisien binomial:
- <sup>1/2</sup>C<sub>0</sub> = (1/2)! / (0! * (1/2)!) = 1
- <sup>1/2</sup>C<sub>1</sub> = (1/2)! / (1! * (-1/2)!) = -1/2 * √π
- <sup>1/2</sup>C<sub>2</sub> = (1/2)! / (2! * (-3/2)!) = 1/8 * √π
Substitusikan nilai koefisien binomial ke dalam ekspansi:
(1 + x)<sup>1/2</sup> = 1 - (1/2)√πx + (1/8)√πx<sup>2</sup> + ...
Kesimpulan:
Ekspansi binomial untuk n = 1/2 dapat dihitung menggunakan rumus umum dengan generalisasi rumus faktorial untuk nilai non-integer. Ekspansi ini memberikan representasi deret untuk akar kuadrat dari suatu binomial.
