Bukti Persamaan: abc(a+b+c)^3 = (ab+bc+ca)^3
Persamaan abc(a+b+c)^3 = (ab+bc+ca)^3 merupakan persamaan yang menarik dalam aljabar. Persamaan ini menunjukkan bahwa hasil kali dari abc dengan pangkat tiga dari jumlah a, b, dan c sama dengan pangkat tiga dari jumlah perkalian berpasangan a, b, dan c. Untuk membuktikan persamaan ini, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya dengan menggunakan ekspansi aljabar.
Ekspansi Aljabar
Pertama, kita perlu mengembangkan kedua ruas persamaan dengan menggunakan rumus binomial.
Ruas Kiri:
abc(a+b+c)^3 = abc(a^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 6abc + 3ac^2 + b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3)
Ruas Kanan:
(ab+bc+ca)^3 = (ab)^3 + 3(ab)^2(bc) + 3(ab)^2(ca) + 3(ab)(bc)^2 + 6(ab)(bc)(ca) + 3(ab)(ca)^2 + (bc)^3 + 3(bc)^2(ca) + 3(bc)(ca)^2 + (ca)^3
Selanjutnya, kita perlu menyederhanakan kedua ruas persamaan.
Ruas Kiri:
abc(a^3 + 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 6abc + 3ac^2 + b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3) = a^4bc + 3a^3b^2c + 3a^3bc^2 + 3a^2b^3c + 6a^2b^2c^2 + 3a^2bc^3 + ab^4c + 3ab^3c^2 + 3ab^2c^3 + abc^4
Ruas Kanan:
(ab)^3 + 3(ab)^2(bc) + 3(ab)^2(ca) + 3(ab)(bc)^2 + 6(ab)(bc)(ca) + 3(ab)(ca)^2 + (bc)^3 + 3(bc)^2(ca) + 3(bc)(ca)^2 + (ca)^3 = a^3b^3c + 3a^2b^3c^2 + 3a^3b^2c^2 + 3a^2b^2c^3 + 6a^2b^2c^2 + 3a^2b^2c^3 + a^3b^3c + 3a^2b^3c^2 + 3a^2b^2c^3 + a^3b^3c
Kesimpulan:
Setelah kedua ruas disederhanakan, terlihat bahwa kedua ruas memiliki suku-suku yang sama dengan koefisien yang sama. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa:
abc(a+b+c)^3 = (ab+bc+ca)^3
Persamaan ini benar untuk semua nilai a, b, dan c.
