Identitas a³ + b³ + c³ - 3abc
Identitas a³ + b³ + c³ - 3abc adalah identitas aljabar yang menyatakan bahwa hasil kali dari selisih tiga variabel kubik dan tiga kali perkalian variabel tersebut dapat difaktorkan menjadi perkalian tiga variabel. Identitas ini dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar, menyelesaikan persamaan, dan memahami hubungan antara tiga variabel.
Rumus Identitas
Identitas a³ + b³ + c³ - 3abc dapat dituliskan sebagai berikut:
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)
Bukti Identitas
Identitas ini dapat dibuktikan dengan menggunakan manipulasi aljabar. Berikut adalah langkah-langkah pembuktian:
-
Mulailah dengan persamaan (a + b + c)³:
(a + b + c)³ = (a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)
-
Kembangkan perkalian tersebut:
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3a²c + 3ab² + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc
-
Kelompokkan suku-suku yang serupa:
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a²b + a²c + ab² + ac² + b²c + bc²) + 6abc
-
Faktorkan 3 dari suku kedua:
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c)) + 6abc
-
Faktorkan a + b + c dari suku kedua:
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) + 6abc
-
Pindahkan 6abc ke sisi kiri:
(a + b + c)³ - 6abc = a³ + b³ + c³ + 3(a + b + c)(ab + ac + bc)
-
Faktorkan 3(a + b + c) dari sisi kanan:
(a + b + c)³ - 6abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)
-
Sederhanakan persamaan:
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)
Aplikasi Identitas
Identitas a³ + b³ + c³ - 3abc dapat digunakan dalam berbagai aplikasi, seperti:
-
Menyederhanakan ekspresi aljabar: Identitas ini dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar yang kompleks, seperti yang melibatkan kubus variabel.
-
Memecahkan persamaan: Identitas ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan kubus variabel.
-
Memahami hubungan antara tiga variabel: Identitas ini menunjukkan hubungan antara tiga variabel dalam bentuk kubik.
Contoh Penggunaan:
Misalkan kita ingin menyederhanakan ekspresi x³ + y³ + z³ - 3xyz. Dengan menggunakan identitas a³ + b³ + c³ - 3abc, kita dapat menuliskannya sebagai:
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz)
Kesimpulan
Identitas a³ + b³ + c³ - 3abc adalah identitas aljabar yang penting dan berguna. Identitas ini dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar, memecahkan persamaan, dan memahami hubungan antara tiga variabel.
