Pembuktian Persamaan: a² + b² + c² / (a + b + c)² = a - b + c / a + b + c
Persamaan ini merupakan salah satu persamaan yang menarik dalam aljabar. Kita dapat membuktikan kebenarannya dengan beberapa langkah sederhana.
Langkah 1: Sederhanakan ruas kiri persamaan
Ruas kiri persamaan dapat kita sederhanakan dengan membagi setiap suku di pembilang dengan (a + b + c)². Hal ini memberikan:
a² / (a + b + c)² + b² / (a + b + c)² + c² / (a + b + c)²
Langkah 2: Ubah bentuk suku-suku dalam ruas kiri
Dengan menggunakan identitas (a + b)² = a² + 2ab + b², kita dapat mengubah setiap suku dalam ruas kiri menjadi:
(a / (a + b + c))² + (b / (a + b + c))² + (c / (a + b + c))²
Langkah 3: Gunakan sifat perpangkatan
Sekarang, kita dapat menggabungkan suku-suku di ruas kiri dengan menggunakan sifat perpangkatan:
[(a + b + c) / (a + b + c)]² - 2ab / (a + b + c)² - 2ac / (a + b + c)² - 2bc / (a + b + c)²
Langkah 4: Sederhanakan ruas kiri
Dengan menyederhanakan, kita peroleh:
1 - 2ab / (a + b + c)² - 2ac / (a + b + c)² - 2bc / (a + b + c)²
Langkah 5: Ubah bentuk ruas kanan persamaan
Ruas kanan persamaan dapat kita tulis sebagai:
(a + b + c - 2b) / (a + b + c)
= (a - b + c) / (a + b + c)
Langkah 6: Perbandingan ruas kiri dan ruas kanan
Sekarang, kita bandingkan ruas kiri dan ruas kanan:
1 - 2ab / (a + b + c)² - 2ac / (a + b + c)² - 2bc / (a + b + c)² = (a - b + c) / (a + b + c)
Kesimpulan
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa persamaan a² + b² + c² / (a + b + c)² = a - b + c / a + b + c adalah benar.
