suzhoumeite.com
Home

A(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0 Then Prove That 2/b=1/a+1/c

5 min read Aug 29, 2024
A(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0 Then Prove That 2/b=1/a+1/c

Membuktikan 2/b = 1/a + 1/c dari Persamaan Kuadrat a(b-c)x² + b(c-a)x + c(a-b) = 0

Diberikan persamaan kuadrat:

a(b-c)x² + b(c-a)x + c(a-b) = 0

Kita ingin membuktikan bahwa:

2/b = 1/a + 1/c

Bukti:

  1. Faktorkan persamaan kuadrat:

    Persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan sebagai berikut:

    (x - 1)(ax - c) = 0

    Untuk memverifikasi faktorisasi ini, kita dapat mengalikan kembali kedua faktor dan memperoleh kembali persamaan kuadrat awal.

  2. Selesaikan persamaan kuadrat:

    Dari faktorisasi, kita mendapatkan dua solusi untuk x:

    • x = 1
    • x = c/a

  3. Gunakan rumus sum dan produk akar:

    Untuk persamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx + c = 0, sum dan produk akarnya diberikan oleh:

    • Sum akar: -b/a
    • Produk akar: c/a

    Dalam kasus kita, kita memiliki:

    • Sum akar: 1 + c/a = (a + c)/a
    • Produk akar: 1 * c/a = c/a

  4. Substitusikan nilai sum dan produk akar:

    Kita tahu bahwa:

    • (a + c)/a = -b / a(b-c)
    • c/a = c(a-b) / a(b-c)

    Dengan menyederhanakan kedua persamaan, kita dapatkan:

    • a + c = -b
    • c = c(a-b)

  5. Selesaikan untuk b:

    Dari persamaan pertama, kita dapatkan:

    • b = - (a + c)

  6. Substitusikan b dalam persamaan kedua:

    Kita mendapatkan:

    • c = c(a - (- (a + c)))
    • c = c(a + a + c)
    • c = c(2a + c)
    • 1 = 2a + c
    • c - 1 = 2a

  7. Substitusikan b dan a dalam persamaan yang ingin dibuktikan:

    Kita ingin membuktikan 2/b = 1/a + 1/c. Substitusikan nilai b dan a yang kita dapatkan:

    • 2/(-(a+c)) = 1/((c-1)/2) + 1/c
    • -2/(a+c) = 2/(c-1) + 1/c

    Mencari penyebut persekutuan untuk ruas kanan:

    • -2/(a+c) = (2c + c-1) / (c-1)c
    • -2/(a+c) = (3c-1) / (c-1)c

    Menyederhanakan:

    • -2(c-1)c = (3c-1)(a+c)
    • -2c² + 2c = 3ac + 3c² - a - c
    • 5c² + ac - 3c + a = 0

  8. Faktorkan persamaan:

    Persamaan ini dapat difaktorkan sebagai berikut:

    • (5c + a)(c - 1) = 0

    Kita mendapatkan dua solusi untuk c:

    • c = -a/5
    • c = 1

    Karena c = 1 tidak memenuhi persamaan awal, maka kita gunakan c = -a/5.

  9. Substitusikan c dalam persamaan yang ingin dibuktikan:

    Substitusikan c = -a/5 dalam persamaan 2/b = 1/a + 1/c:

    • 2/(-(a+c)) = 1/a + 1/(-a/5)
    • 2/(-(a-a/5)) = 1/a - 5/a
    • 2/(-4a/5) = -4/a
    • -10/4a = -4/a
    • -10a = -16a
    • 6a = 0
    • a = 0

    Namun, a = 0 tidak memenuhi persamaan awal karena akan menyebabkan koefisien x² menjadi nol. Oleh karena itu, tidak ada solusi yang memenuhi semua kondisi.

Kesimpulan:

Meskipun langkah-langkah pembuktian menunjukkan bahwa persamaan 2/b = 1/a + 1/c mungkin berlaku, pada kenyataannya, tidak ada solusi yang memenuhi semua kondisi dalam persamaan kuadrat awal dan persamaan yang ingin dibuktikan.

Perlu diperhatikan bahwa faktorisasi persamaan kuadrat dan langkah-langkah selanjutnya dalam pembuktian mengasumsikan bahwa a, b, dan c tidak sama dengan nol. Jika salah satu dari variabel tersebut bernilai nol, persamaan awal tidak akan menjadi persamaan kuadrat dan pembuktian tidak akan berlaku.

Featured Posts