Membuktikan Persamaan: a²/b+c + b²/c+a + c²/a+b = 0
Diberikan persamaan: a/b+c + b/c+a + c/a+b = 1, kita ingin membuktikan bahwa: a²/b+c + b²/c+a + c²/a+b = 0
Langkah-langkah pembuktian:
-
Menyederhanakan persamaan pertama:
- Kalikan kedua ruas persamaan dengan (b+c)(c+a)(a+b) untuk menghilangkan penyebut:
- a(c+a)(a+b) + b(b+c)(a+b) + c(b+c)(c+a) = (b+c)(c+a)(a+b)
- Ekspansikan dan sederhanakan persamaan:
- a²c + a³ + ab² + a²b + b²c + b³ + bc² + abc + c²a + c³ = abc + a²b + ac² + b²c + ab² + bc² + a²c + abc
- a³ + b³ + c³ = 3abc
- Kalikan kedua ruas persamaan dengan (b+c)(c+a)(a+b) untuk menghilangkan penyebut:
-
Membuat persamaan kedua dalam bentuk yang lebih mudah:
- Kalikan kedua ruas persamaan kedua dengan (b+c)(c+a)(a+b):
- a²(c+a)(a+b) + b²(b+c)(a+b) + c²(b+c)(c+a) = 0
- Ekspansikan persamaan:
- a²c + a³ + ab² + a²b + b²c + b³ + bc² + abc + c²a + c³ = 0
- Kalikan kedua ruas persamaan kedua dengan (b+c)(c+a)(a+b):
-
Menggunakan hasil dari langkah 1:
- Substitusikan a³ + b³ + c³ = 3abc ke dalam persamaan yang dihasilkan pada langkah 2:
- 3abc + ab² + a²b + b²c + bc² + abc + c²a = 0
- Substitusikan a³ + b³ + c³ = 3abc ke dalam persamaan yang dihasilkan pada langkah 2:
-
Sederhanakan persamaan:
- 4abc + ab² + a²b + b²c + bc² + c²a = 0
-
Faktorkan persamaan:
- (a+b)(b+c)(c+a) = 0
-
Kesimpulan:
- Karena a, b, dan c merupakan variabel real, maka salah satu dari (a+b), (b+c), atau (c+a) harus sama dengan 0.
- Ini berarti persamaan a²/b+c + b²/c+a + c²/a+b = 0 terpenuhi.
Oleh karena itu, terbukti bahwa jika a/b+c + b/c+a + c/a+b = 1, maka a²/b+c + b²/c+a + c²/a+b = 0.
