Mencari Nilai a³ + b³ + c³ - 3abc
Diketahui:
- a + b + c = 15
- a² + b² + c² = 83
Ditanya:
- a³ + b³ + c³ - 3abc = ?
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan memanfaatkan rumus berikut:
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)
Langkah-langkah:
-
Kalkulasikan (a + b + c)³:
(a + b + c)³ = 15³ = 3375
-
Kalkulasikan (a + b)(b + c)(c + a):
-
Kita tahu a² + b² + c² = 83.
-
Kuadratkan (a + b + c) dan selesaikan persamaannya: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) 15² = 83 + 2(ab + ac + bc) 225 = 83 + 2(ab + ac + bc) 2(ab + ac + bc) = 142 ab + ac + bc = 71
-
Kita dapat menulis (a + b)(b + c)(c + a) sebagai: (a + b)(b + c)(c + a) = abc + a²b + ab² + ac² + abc + b²c + abc + bc² + c²a (a + b)(b + c)(c + a) = 3abc + (a²b + ab² + ac² + b²c + bc² + c²a) (a + b)(b + c)(c + a) = 3abc + (a² + b² + c²)(a + b + c) - (a³ + b³ + c³)
-
Substitusikan nilai yang diketahui: (a + b)(b + c)(c + a) = 3abc + (83)(15) - (a³ + b³ + c³) (a + b)(b + c)(c + a) = 3abc + 1245 - (a³ + b³ + c³)
-
-
Substitusikan nilai yang telah kita dapatkan ke dalam rumus (a + b + c)³:
3375 = a³ + b³ + c³ + 3[3abc + 1245 - (a³ + b³ + c³)] 3375 = a³ + b³ + c³ + 9abc + 3735 - 3(a³ + b³ + c³) 3375 = -2(a³ + b³ + c³) + 9abc + 3735 2(a³ + b³ + c³) - 9abc = 3735 - 3375 2(a³ + b³ + c³) - 9abc = 360 a³ + b³ + c³ - 3abc = 180
Jadi, a³ + b³ + c³ - 3abc = 180.
