Mencari Nilai dari a⁵ + b⁵
Diketahui persamaan:
- a + b = 1
- a² + b² = 2
Kita ingin mencari nilai dari a⁵ + b⁵.
Berikut langkah-langkah untuk menyelesaikannya:
1. Memanfaatkan Identitas Aljabar
Kita dapat menggunakan identitas aljabar berikut:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Dari persamaan pertama, kita tahu bahwa a + b = 1. Maka:
1² = a² + 2ab + b² 1 = 2 + 2ab 2ab = -1 ab = -1/2
2. Menghitung a³ + b³
Kita dapat menggunakan identitas aljabar berikut:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Dengan mengganti a + b = 1 dan ab = -1/2, kita dapatkan:
1³ = a³ + 3a²(-1/2) + 3(-1/2)b² + b³ 1 = a³ - (3/2)a² - (3/2)b² + b³ 1 = a³ + b³ - (3/2)(a² + b²) 1 = a³ + b³ - (3/2)(2) 1 = a³ + b³ - 3 a³ + b³ = 4
3. Menghitung a⁵ + b⁵
Kita dapat menggunakan identitas aljabar berikut:
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵
Dengan mengganti a + b = 1 dan ab = -1/2, kita dapatkan:
1⁵ = a⁵ + 5a⁴(-1/2) + 10a³(-1/2)² + 10a²(-1/2)³ + 5a(-1/2)⁴ + b⁵ 1 = a⁵ - (5/2)a⁴ + (5/2)a³ - (5/4)a² + (5/16)a + b⁵ 1 = a⁵ + b⁵ - (5/2)a⁴ + (5/2)a³ - (5/4)a² + (5/16)a
Kita telah mengetahui nilai a³ + b³ = 4.
Untuk mencari nilai a⁴ dan a² kita perlu menggunakan informasi a² + b² = 2. Dengan mengkuadratkan kedua ruas, kita dapatkan:
a⁴ + 2a²b² + b⁴ = 4
Dengan mengganti ab = -1/2, kita dapatkan:
a⁴ + 2(-1/2)² + b⁴ = 4 a⁴ + b⁴ = 3
Sekarang kita dapat mengganti nilai-nilai yang telah kita peroleh:
1 = a⁵ + b⁵ - (5/2)(3) + (5/2)(4) - (5/4)(3) + (5/16)a 1 = a⁵ + b⁵ - (15/2) + 10 - (15/4) + (5/16)a
Karena kita tidak mengetahui nilai 'a', kita tidak dapat mencari nilai numerik untuk a⁵ + b⁵.
Jadi, a⁵ + b⁵ = 1 + (15/2) - 10 + (15/4) - (5/16)a
