Menyelesaikan Persamaan Eksponensial: 9^x+2 - 6 * 3^x+1 + 1 = 0
Persamaan eksponensial ini mungkin tampak rumit, tetapi dapat diselesaikan dengan beberapa langkah sederhana. Kuncinya adalah untuk menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyederhanakan persamaan.
Langkah 1: Sederhanakan Eksponen
- Perhatikan bahwa 9 = 3² dan 3^x+1 = 3^x * 3¹
- Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:
- (3²)^(x+2) - 6 * (3^x * 3¹) + 1 = 0
- Gunakan aturan eksponen: (a^m)^n = a^(m*n)
- 3^(2x+4) - 18 * 3^x + 1 = 0
Langkah 2: Substitusi untuk Penyederhanaan
- Misalkan y = 3^x
- Substitusikan y ke dalam persamaan:
- y^(2x+4) - 18y + 1 = 0
Langkah 3: Selesaikan Persamaan Kuadrat
- Perhatikan bahwa y^(2x+4) = (y^2)^x * y^4 = (y^2)^x * 81
- Substitusikan kembali:
- 81(y^2)^x - 18y + 1 = 0
- Sekarang persamaan ini berbentuk kuadrat, dengan variabel y^2. Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan rumus kuadrat:
- y = (18 ± √(18² - 4 * 81 * 1)) / (2 * 81)
- y = (18 ± √198) / 162
- y = (18 ± 3√22) / 162
Langkah 4: Kembalikan ke Variabel Asli
- Ingat bahwa y = 3^x. Substitusikan kembali:
- 3^x = (18 ± 3√22) / 162
- Selesaikan untuk x menggunakan logaritma:
- x = log₃((18 ± 3√22) / 162)
Solusi
Persamaan eksponensial ini memiliki dua solusi:
- x = log₃((18 + 3√22) / 162)
- x = log₃((18 - 3√22) / 162)
