Menyelesaikan Persamaan Eksponensial: 8(4^x+4^-x)-54(2^x+2^-x)+101=0
Persamaan eksponensial ini terlihat kompleks, namun dapat dipecahkan dengan beberapa langkah manipulasi aljabar dan substitusi. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaiannya:
1. Mengubah Basis
Pertama, kita ubah semua basis eksponen menjadi 2.
- 4^x = (2^2)^x = 2^(2x)
- 4^-x = (2^2)^-x = 2^(-2x)
Sehingga persamaan menjadi:
8(2^(2x) + 2^(-2x)) - 54(2^x + 2^-x) + 101 = 0
2. Substitusi
Selanjutnya, kita lakukan substitusi untuk menyederhanakan persamaan. Misalkan:
- y = 2^x
Maka, 2^(-x) = 1/2^x = 1/y.
Dengan substitusi ini, persamaan menjadi:
8(y^2 + 1/y^2) - 54(y + 1/y) + 101 = 0
3. Menyederhanakan Persamaan
Kita kalikan kedua ruas persamaan dengan y^2 untuk menghilangkan pecahan:
8(y^4 + 1) - 54(y^3 + y) + 101y^2 = 0
Kemudian, kita sederhanakan:
8y^4 - 54y^3 + 101y^2 - 54y + 8 = 0
4. Memecahkan Persamaan Kuadrat
Persamaan ini adalah persamaan polinomial derajat 4. Namun, kita dapat melihat bahwa koefisiennya simetris. Ini mengindikasikan bahwa kita dapat menyelesaikannya dengan substitusi.
Misalkan:
- z = y + 1/y
Maka,
- z^2 = (y + 1/y)^2 = y^2 + 2 + 1/y^2
Oleh karena itu, y^2 + 1/y^2 = z^2 - 2.
Substitusikan z ke dalam persamaan polinomial:
8(z^2 - 2) - 54z + 101 = 0
8z^2 - 54z + 85 = 0
5. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat:
z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
Dimana a = 8, b = -54, dan c = 85.
Maka:
z = (54 ± √((-54)^2 - 4 * 8 * 85)) / (2 * 8)
z = (54 ± √(2916 - 2720)) / 16
z = (54 ± √196) / 16
z = (54 ± 14) / 16
z1 = 11/2
z2 = 5/4
6. Mengganti Substitusi
Sekarang kita substitusikan kembali nilai z untuk mendapatkan nilai y:
- Untuk z = 11/2:
y + 1/y = 11/2
2y^2 + 2 = 11y
2y^2 - 11y + 2 = 0
(2y - 1)(y - 2) = 0
y1 = 1/2 y2 = 2
- Untuk z = 5/4:
y + 1/y = 5/4
4y^2 + 4 = 5y
4y^2 - 5y + 4 = 0
Persamaan ini tidak memiliki akar real.
7. Mencari Nilai x
Terakhir, kita substitusikan kembali nilai y ke dalam y = 2^x untuk mendapatkan nilai x:
- Untuk y = 1/2:
1/2 = 2^x
x = -1
- Untuk y = 2:
2 = 2^x
x = 1
Kesimpulan
Jadi, solusi persamaan eksponensial 8(4^x+4^-x)-54(2^x+2^-x)+101=0 adalah:
x = -1 atau x = 1
