Bukti bahwa (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)(1 + x^16) = (1 - x^32)/(1 - x)
Untuk membuktikan persamaan ini, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.
Langkah 1: Kasus dasar
Untuk n = 1, persamaan tersebut menjadi:
(1 + x) = (1 - x^2)/(1 - x)
Ini benar karena (1 - x^2) dapat difaktorkan menjadi (1 + x)(1 - x), sehingga persamaan tersebut menjadi:
(1 + x) = (1 + x)(1 - x)/(1 - x)
Langkah 2: Asumsi induktif
Asumsikan bahwa persamaan tersebut benar untuk n = k, yaitu:
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)...(1 + x^(2^k)) = (1 - x^(2^(k+1)))/(1 - x)
Langkah 3: Langkah induktif
Kita perlu membuktikan bahwa persamaan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu:
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)...(1 + x^(2^(k+1))) = (1 - x^(2^(k+2)))/(1 - x)
Untuk membuktikan ini, kita mulai dengan sisi kiri persamaan untuk n = k + 1:
(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)...(1 + x^(2^(k+1)))
Dengan menggunakan asumsi induktif, kita dapat mengganti bagian pertama persamaan dengan:
(1 - x^(2^(k+1)))/(1 - x) * (1 + x^(2^(k+1)))
Sekarang kita dapat menggunakan identitas (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 untuk menyederhanakan persamaan:
(1 - x^(2^(k+2)))/(1 - x)
Ini adalah sisi kanan persamaan untuk n = k + 1.
Kesimpulan
Karena persamaan tersebut benar untuk kasus dasar dan langkah induktif, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, persamaan tersebut benar untuk semua nilai n yang merupakan bilangan bulat positif.
Oleh karena itu, kita telah membuktikan bahwa (1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4)(1 + x^8)(1 + x^16) = (1 - x^32)/(1 - x).
