Buktikan bahwa 5^n + 1 - 4n - 5 habis dibagi 16
Pada artikel ini, kita akan membuktikan bahwa 5^n + 1 - 4n - 5 habis dibagi 16 untuk setiap nilai integer n. Untuk membuktikan ini, kita akan menggunakan teknik induction matematika.
Basis Induksi
Kita mulai dengan membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
5^1 + 1 - 4(1) - 5 = 5 + 1 - 4 - 5 = -3
Kita dapat melihat bahwa -3 habis dibagi 16, karena -3 = -16/5.
Induksi
Sekarang, asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:
5^k + 1 - 4k - 5 = 16m untuk beberapa bilangan bulat m.
Kita harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1.
5^(k+1) + 1 - 4(k+1) - 5 = 5^k × 5 + 1 - 4k - 4 - 5 = 5^k × 5 - 4k - 4 - 4 = 5 × (5^k + 1 - 4k - 5) - 4 = 5 × 16m - 4 (dari asumsi induksi) = 16(5m) - 4 = 16(5m - 1/4) = 16m' (dengan m' = 5m - 1/4)
Kita dapat melihat bahwa 5^(k+1) + 1 - 4(k+1) - 5 juga habis dibagi 16.
Kesimpulan
Dengan menggunakan teknik induksi, kita telah membuktikan bahwa 5^n + 1 - 4n - 5 habis dibagi 16 untuk setiap nilai integer n.
