Distribusi Normal: 5 Contoh Soal dan Penyelesaiannya
Distribusi normal, juga dikenal sebagai kurva Gauss, adalah sebuah distribusi probabilitas kontinu yang penting dalam statistik dan matematika. Distribusi normal digunakan untuk memodelkan variasi acak yang terjadi dalam berbagai fenomena alam dan sosial. Berikut ini adalah 5 contoh soal distribusi normal dan penyelesaiannya:
Contoh Soal 1: Mencari Peluang
Diberikan distribusi normal dengan mean (μ) = 10 dan standar deviasi (σ) = 2. Berapa peluang bahwa nilai yang diambil dari distribusi ini kurang dari 12?
Penyelesaian: Untuk mencari peluang, kita perlu menghitung z-score dengan rumus: z = (x - μ) / σ z = (12 - 10) / 2 = 1 Kemudian, kita dapat menggunakan tabel z-score untuk mencari peluang: P(X < 12) = P(Z < 1) = 0.8413
Contoh Soal 2: Mencari Nilai X
Diberikan distribusi normal dengan mean (μ) = 5 dan standar deviasi (σ) = 1.5. Berapa nilai x yang mempunyai peluang 0.75?
Penyelesaian: Untuk mencari nilai x, kita perlu menghitung z-score terlebih dahulu: P(X < x) = 0.75 P(Z < z) = 0.75 z ≈ 0.6745 (dari tabel z-score) x = μ + (z × σ) x = 5 + (0.6745 × 1.5) ≈ 6.012
Contoh Soal 3: Mencari Interval Kepercayaan
Diberikan distribusi normal dengan mean (μ) = 20 dan standar deviasi (σ) = 3. Berapa interval kepercayaan 95% untuk rata-rata sampel?
Penyelesaian: Untuk mencari interval kepercayaan, kita perlu menghitung margin of error (E) terlebih dahulu: E = Z × (σ / √n) n = ukuran sampel, diasumsikan sebesar 36 (untuk contoh ini) E = 1.96 × (3 / √36) ≈ 1.38 Interval kepercayaan 95% adalah: CI = (μ - E, μ + E) = (20 - 1.38, 20 + 1.38) = (18.62, 21.38)
Contoh Soal 4: Mencari Peluang dengan Z-Score
Diberikan distribusi normal dengan mean (μ) = 15 dan standar deviasi (σ) = 2.5. Berapa peluang bahwa nilai yang diambil dari distribusi ini lebih dari 18?
Penyelesaian: Untuk mencari peluang, kita perlu menghitung z-score dengan rumus: z = (x - μ) / σ z = (18 - 15) / 2.5 = 1.2 Kemudian, kita dapat menggunakan tabel z-score untuk mencari peluang: P(X > 18) = P(Z > 1.2) = 1 - P(Z < 1.2) = 1 - 0.8849 = 0.1151
Contoh Soal 5: Mencari Standar Deviasi
Diberikan distribusi normal dengan mean (μ) = 12 dan peluang P(X < 15) = 0.9332. Berapa standar deviasi (σ) dari distribusi ini?
Penyelesaian: Untuk mencari standar deviasi, kita perlu menghitung z-score terlebih dahulu: P(X < 15) = 0.9332 P(Z < z) = 0.9332 z ≈ 1.48 (dari tabel z-score) x = μ + (z × σ) 15 = 12 + (1.48 × σ) σ = (15 - 12) / 1.48 ≈ 2.04
Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa distribusi normal mempunyai aplikasi yang luas dalam berbagai bidang, dan dengan memahami konsep-konsep dasar seperti mean, standar deviasi, dan z-score, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah yang terkait dengan distribusi normal.
