Bukti Bahwa 4^n + 1 - 4 Habis Dibagi 12
Pada artikel ini, kita akan membahas salah satu fakta menarik dalam matematika, yaitu bahwa 4^n + 1 - 4 habis dibagi 12 untuk semua nilai n bilangan bulat positif. Kita akan membuktikan hal ini menggunakan induksi matematika dan beberapa sifat dasar dari operasi bilangan.
Basis Induksi
Pertama-tama, kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan ini benar untuk n = 1. Kita dapat menghitung nilai 4^1 + 1 - 4 = 1, yang jelas habis dibagi 12.
Induksi
Sekarang, anggap pernyataan ini benar untuk n = k, yaitu 4^k + 1 - 4 habis dibagi 12. Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan ini juga benar untuk n = k + 1.
Kita dapat menulis 4^(k+1) + 1 - 4 sebagai berikut:
4^(k+1) + 1 - 4 = (4^k)(4) + 1 - 4 = (4^k)(4) + 4 - 4 + 1 - 4 = (4^k)(4) + 4(1 - 1) - 4 + 1 = (4^k)(4) - 4 + 1
Kemudian, kita dapat menggunakan asumsi induksi bahwa 4^k + 1 - 4 habis dibagi 12. Oleh karena itu, kita dapat menulis:
(4^k)(4) - 4 + 1 = (4^k + 1 - 4)(4) + 3 = 12m(4) + 3
dengan m sebagai bilangan bulat.
Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa 4^(k+1) + 1 - 4 juga habis dibagi 12. Oleh karena itu, pernyataan ini benar untuk semua nilai n bilangan bulat positif.
Kesimpulan
Dengan menggunakan induksi matematika, kita dapat membuktikan bahwa 4^n + 1 - 4 habis dibagi 12 untuk semua nilai n bilangan bulat positif. Ini adalah contoh menarik dari bagaimana kita dapat menggunakan teknik induksi untuk membuktikan pernyataan matematika yang umum.
