Evaluasi Integral 45: $(0,1) \int \frac{\sin^{-1} x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \log 2$
Pengantar Integral mengandung fungsi invers sinus ( $\sin^{-1} x$ ) dapat dijumpai dalam berbagai bidang matematika dan ilmu pengetahuan. Salah satu contoh integral tersebut adalah $(0,1) \int \frac{\sin^{-1} x}{x} dx$, yang akan kita evaluasi dalam artikel ini.
Langkah-langkah Evaluasi
- Substitusi Misalkan $x = \sin t$, maka $dx = \cos t dt$. Batas integral berubah menjadi $t = 0$ ketika $x = 0$ dan $t = \frac{\pi}{2}$ ketika $x = 1$. Maka,
$(0,1) \int \frac{\sin^{-1} x}{x} dx = (0,\frac{\pi}{2}) \int \frac{t}{\sin t} \cos t dt$ 2. Integration by Parts Aplikasikan integrasi oleh bagian dengan memilih $u = t$ dan $dv = \frac{\cos t}{\sin t} dt$. Maka,
$du = dt \quad dan \quad v = \log |\sin t|$
$(0,\frac{\pi}{2}) \int \frac{t}{\sin t} \cos t dt = [(t \log |\sin t|)_{0}^{\frac{\pi}{2}} - (0,\frac{\pi}{2}) \int \log |\sin t| dt]$ 3. Evaluasi Batas Evaluasi batas integral untuk mendapatkan hasilnya.
$[(t \log |\sin t|)_{0}^{\frac{\pi}{2}} - (0,\frac{\pi}{2}) \int \log |\sin t| dt] = [- \frac{\pi}{2} \log 2 - (0,\frac{\pi}{2}) \int \log |\sin t| dt]$ 4. Mengintegrasikan Logaritma Sinus Untuk mengintegrasikan $\int \log |\sin t| dt$, kita dapat menggunakan integrasi parsial lagi. Misalkan $u = \log |\sin t|$ dan $dv = dt$. Maka,
$du = \frac{\cos t}{\sin t} dt \quad dan \quad v = t$
$(0,\frac{\pi}{2}) \int \log |\sin t| dt = [(t \log |\sin t|)_{0}^{\frac{\pi}{2}} - (0,\frac{\pi}{2}) \int \frac{t \cos t}{\sin t} dt]$ 5. Menghitung Nilai Integral Evaluasi batas integral untuk mendapatkan hasilnya.
$[(t \log |\sin t|)_{0}^{\frac{\pi}{2}} - (0,\frac{\pi}{2}) \int \frac{t \cos t}{\sin t} dt] = [- \frac{\pi}{2} \log 2 + \frac{\pi}{2} \log 2] = 0$ Kesimpulan Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa $(0,1) \int \frac{\sin^{-1} x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \log 2$. Integral ini digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan ilmu pengetahuan.
