Menghitung Ekspresi Trigonometri: 4 tan^-1(1/5) - tan^-1(1/70) + tan^-1(1/99)
Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung ekspresi trigonometri yang cukup kompleks, yaitu 4 tan^-1(1/5) - tan^-1(1/70) + tan^-1(1/99). Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep dasar trigonometri dan beberapa identitas trigonometri yang berguna.
Konsep Dasar Trigonometri
Sebelum kita mulai menghitung ekspresi tersebut, mari kita ingatkan kembali beberapa konsep dasar trigonometri. Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari tentang segitiga dan sifat-sifatnya. Dalam trigonometri, kita memiliki beberapa fungsi trigonometri seperti sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), kotangen (cot), sekanten (sec), dan kosekanten (csc).
Salah satu fungsi trigonometri yang sangat penting adalah fungsi tangen (tan), yang didefinisikan sebagai perbandingan antara sinus dan cosinus. yaitu:
$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$
Identitas Trigonometri
Untuk menghitung ekspresi 4 tan^-1(1/5) - tan^-1(1/70) + tan^-1(1/99), kita perlu menggunakan beberapa identitas trigonometri. Salah satu identitas yang sangat berguna adalah identitas tan^-1, yang dinyatakan sebagai:
$tan^{-1}(x) + tan^{-1}(y) = tan^{-1}\left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)$
Identitas ini digunakan untuk menghitung penjumlahan dua fungsi tangen invers.
Menghitung Ekspresi
Sekarang, mari kita mulai menghitung ekspresi 4 tan^-1(1/5) - tan^-1(1/70) + tan^-1(1/99). Pertama-tama, kita perlu menghitung nilai tan^-1(1/5).
$tan^{-1}(1/5) = x \Rightarrow tan(x) = 1/5$
Dengan menggunakan identitas tan^-1, kita dapat menulis:
$x = tan^{-1}(1/5) = tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5}$
Selanjutnya, kita perlu menghitung nilai tan^-1(1/70).
$tan^{-1}(1/70) = y \Rightarrow tan(y) = 1/70$
Kita dapat menulis:
$y = tan^{-1}(1/70) = tan^{-1}\left(\frac{1}{70}\right) = \frac{1}{70}$
Sekarang, kita perlu menghitung nilai tan^-1(1/99).
$tan^{-1}(1/99) = z \Rightarrow tan(z) = 1/99$
Kita dapat menulis:
$z = tan^{-1}(1/99) = tan^{-1}\left(\frac{1}{99}\right) = \frac{1}{99}$
Menghitung Ekspresi dengan Identitas Trigonometri
Sekarang, kita dapat menghitung ekspresi 4 tan^-1(1/5) - tan^-1(1/70) + tan^-1(1/99) dengan menggunakan identitas tan^-1.
$4 tan^{-1}(1/5) - tan^{-1}(1/70) + tan^{-1}(1/99) = 4x - y + z$
Dengan menggunakan identitas tan^-1, kita dapat menulis:
$4x - y + z = tan^{-1}\left(\frac{4x - y + z}{1 - (4x)(-y) + (4x)(z) + (-y)(z)}\right)$
Setelah melakukan beberapa perhitungan, kita dapat menulis:
$4x - y + z = tan^{-1}\left(\frac{4/5 - 1/70 + 1/99}{1 - (4/5)(1/70) + (4/5)(1/99) + (1/70)(1/99)}\right)$
