Bukti Identitas Trigonometri: 4(cos^6x + sin^6x) = 1 + 3cos^2(2x)
Identitas trigonometri adalah sebuah pernyataan yang menghubungkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Salah satu identitas trigonometri yang penting adalah 4(cos^6x + sin^6x) = 1 + 3cos^2(2x). Artikel ini akan membahas bukti dari identitas ini.
Pengembangan Identitas
Untuk membuktikan identitas ini, kita dapat mengembangkan kedua sisi dari persamaan.
Sisi Kiri
Sisi kiri dari persamaan adalah 4(cos^6x + sin^6x). Kita dapat mengembangkan ini menggunakan teorema binomial:
cos^6x + sin^6x = (cos^2x)^3 + (sin^2x)^3 = (cos^2x + sin^2x)((cos^2x)^2 - cos^2x sin^2x + (sin^2x)^2) = 1(cos^4x - cos^2x sin^2x + sin^4x)
Note: kita menggunakan teorema Pythagoras, yaitu cos^2x + sin^2x = 1.
Sisi Kanan
Sisi kanan dari persamaan adalah 1 + 3cos^2(2x). Kita dapat mengembangkan ini menggunakan teorema identitas ganda:
cos^2(2x) = (cos(2x))^2 = (2cos^2x - 1)^2 = 4cos^4x - 4cos^2x + 1
Maka, kita dapat tulis:
1 + 3cos^2(2x) = 1 + 3(4cos^4x - 4cos^2x + 1) = 1 + 12cos^4x - 12cos^2x + 3 = 4cos^4x - 4cos^2x + 4
Perbandingan Sisi Kiri dan Sisi Kanan
Sekarang kita dapat membandingkan kedua sisi dari persamaan:
4(cos^6x + sin^6x) = 4cos^4x - 4cos^2x + 4 = 1 + 3cos^2(2x)
Kedua sisi dari persamaan identik, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa identitas 4(cos^6x + sin^6x) = 1 + 3cos^2(2x) adalah benar.
** Kesimpulan **
Dalam artikel ini, kita telah membuktikan identitas trigonometri 4(cos^6x + sin^6x) = 1 + 3cos^2(2x) menggunakan teorema binomial dan teorema identitas ganda. Identitas ini dapat digunakan dalam berbagai aplikasi dalam matematika dan fisika.
