2^x = 3^y = 6^z, maka 1/x + 1/y + 1/z adalah sama dengan
Masalah Matematika yang Menarik
Pernahkah Anda menemukan masalah matematika yang membuat Anda penasaran? Salah satu contoh adalah masalah berikut: jika 2^x = 3^y = 6^z, maka apa nilai dari 1/x + 1/y + 1/z?
Analisis Masalah
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami sifat-sifat eksponensial. Kita dapat mulai dengan menulis 2^x = 3^y = 6^z dalam bentuk eksponensial yang lebih sederhana.
2^x = (2^1)^x = 2^(1x) 3^y = (3^1)^y = 3^(1y) 6^z = (2^1 * 3^1)^z = 2^(1z) * 3^(1z)
Karena 2^x = 3^y = 6^z, maka kita dapat menyamakan nilai-nilai tersebut:
2^(1x) = 3^(1y) = 2^(1z) * 3^(1z)
Menyelesaikan Masalah
Sekarang kita dapat menggunakan sifat-sifat eksponensial untuk menyelesaikan masalah. Kita dapat mengambil logaritma natural dari kedua sisi persamaan di atas:
log(2^(1x)) = log(3^(1y)) = log(2^(1z) * 3^(1z))
1x * log(2) = 1y * log(3) = 1z * log(2) + 1z * log(3)
Karena logaritma natural memiliki sifat linier, kita dapat menghilangkan logaritma-logaritma tersebut:
1x = 1y * log(3)/log(2) = 1z * (log(2) + log(3))/log(2)
Sekarang kita dapat menyelesaikan untuk x, y, dan z:
x = y * log(3)/log(2) y = z * (log(2) + log(3))/log(3) z = x * log(2)/(log(2) + log(3))
Menjawab Pertanyaan
Sekarang kita dapat menjawab pertanyaan awal: jika 2^x = 3^y = 6^z, maka apa nilai dari 1/x + 1/y + 1/z?
Kita dapat menggantikan nilai-nilai x, y, dan z yang telah kita dapatkan:
1/x + 1/y + 1/z = 1/(y * log(3)/log(2)) + 1/(z * (log(2) + log(3))/log(3)) + 1/(x * log(2)/(log(2) + log(3)))
Setelah melakukan manipulasi aljabar, kita mendapatkan hasil yang menarik:
1/x + 1/y + 1/z = 2
Jadi, jika 2^x = 3^y = 6^z, maka nilai dari 1/x + 1/y + 1/z adalah 2.
