Menghitung Ekspresi Trigonometri
Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menghitung ekspresi trigonometri berikut:
$2\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}}{7}\right) + 2\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right) = \frac{\pi}{4}$
Langkah 1: Menghitung $\tan^{-1}$
Pertama, kita perlu menghitung nilai dari $\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$ dan $\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menghitung nilai ini.
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) = \alpha \quad \Rightarrow \quad \tan(\alpha) = \frac{1}{5}$
Dengan menggunakan aturan pitagoras, kita dapat menemukan nilai dari $\sin(\alpha)$ dan $\cos(\alpha)$:
$\sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{26}} \quad \text{dan} \quad \cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{26}}$
Sekarang, kita dapat menemukan nilai dari $\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$ dengan cara yang sama:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right) = \beta \quad \Rightarrow \quad \tan(\beta) = \frac{1}{8}$
$\sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{65}} \quad \text{dan} \quad \cos(\beta) = \frac{8}{\sqrt{65}}$
Langkah 2: Menghitung $\sec^{-1}$
Selanjutnya, kita perlu menghitung nilai dari $\sec^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}}{7}\right)$. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menghitung nilai ini.
$\sec^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}}{7}\right) = \gamma \quad \Rightarrow \quad \sec(\gamma) = \frac{5\sqrt{2}}{7}$
Dengan menggunakan aturan pitagoras, kita dapat menemukan nilai dari $\sin(\gamma)$ dan $\cos(\gamma)$:
$\cos(\gamma) = \frac{7}{5\sqrt{2}} \quad \text{dan} \quad \sin(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Langkah 3: Menghitung Ekspresi
Sekarang, kita dapat menghitung ekspresi yang diberikan:
$2\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}}{7}\right) + 2\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)$
Dengan menggunakan hasil yang kita dapatkan sebelumnya, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai:
$2\alpha + \gamma + 2\beta$
Langkah 4: Menghitung Nilai Akhir
Untuk menghitung nilai akhir, kita perlu menghitung nilai dari $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$. Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menghitung nilai ini.
$\tan(2\alpha) = \tan\left(2\tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
Dengan menggunakan aturan pitagoras, kita dapat menemukan nilai dari $\sin(2\alpha)$ dan $\cos(2\alpha)$:
$\sin(2\alpha) = \frac{5}{\sqrt{61}} \quad \text{dan} \quad \cos(2\alpha) = \frac{6}{\sqrt{61}}$
Demikian juga, kita dapat menghitung nilai dari $\beta$ dan $\gamma$:
$\tan(2\beta) = \tan\left(2\tan^{-1}\left(\frac{1}{8}\right)\right) = \frac{2\tan(\beta)}{1 - \tan^2(\beta
