** Identitas Trigonometri: Deretan Sinus dan Cotangen **
Dalam matematika, terdapat berbagai identitas trigonometri yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan fungsi trigonometri. Salah satu identitas tersebut adalah:
** Identitas: **
$\frac{\sin(n+1)a+2\sin(na)+\sin(n-1)a}{\cos(n-1)a-\cos(n+1)a}=\frac{1}{2}\cot(a)$
** Pembuktian: **
Untuk membuktikan identitas di atas, kita dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri dasar. Berikut adalah tahapan-tahapannya:
1. Sinus dan Cosinus
Pertama-tama, kita perlu menulis sinus dan cosinus dalam bentuk identitas:
$\sin(n+1)a=\sin(na+a)=\sin(na)\cos(a)+\cos(na)\sin(a)$
$\cos(n-1)a=\cos(na-a)=\cos(na)\cos(a)+\sin(na)\sin(a)$
2. Substitusi
Selanjutnya, kita substitusikan persamaan di atas ke dalam identitas yang akan dibuktikan:
$\frac{\sin(n+1)a+2\sin(na)+\sin(n-1)a}{\cos(n-1)a-\cos(n+1)a}$
$=\frac{[\sin(na)\cos(a)+\cos(na)\sin(a)]+2\sin(na)+[\sin(na)\cos(a)-\cos(na)\sin(a)]}{[\cos(na)\cos(a)+\sin(na)\sin(a)]-[\cos(na)\cos(a)-\sin(na)\sin(a)]}$
3. Sederhanakan
Kita dapat menyederhanakan persamaan di atas dengan menggabungkan suku-suku yang sejenis:
$=\frac{2\sin(na)\cos(a)+2\sin(na)}{2\sin(na)\sin(a)}$
4. Hasil
Dengan menyederhanakan lebih lanjut, kita dapatkan hasil akhir:
$=\frac{1}{2}\frac{\cos(a)}{\sin(a)}$
$=\frac{1}{2}\cot(a)$
Sehingga, kita telah membuktikan identitas trigonometri di atas. Identitas ini dapat digunakan dalam berbagai persoalan trigonometri dan analisis fungsi.
