1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b) =3/2

3 min read Jul 18, 2024

Bukti Identitas Aljabar: 1/a^3(b+c) + 1/b^3(c+a) + 1/c^3(a+b) = 3/2

Identitas aljabar yang akan kita buktikan adalah:

$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} = \frac{3}{2}$

Kita dapat mengubah bentuk penyajian identitas di atas dengan memfaktorkan $a, b,$ dan $c$ ke dalam masing-masing suku:

$\frac{b+c}{a^3} + \frac{c+a}{b^3} + \frac{a+b}{c^3} = \frac{3}{2}$

Kita dapat menggunakan sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan untuk mengubah urutan suku-suku:

$\frac{b}{a^3} + \frac{c}{a^3} + \frac{c}{b^3} + \frac{a}{b^3} + \frac{a}{c^3} + \frac{b}{c^3} = \frac{3}{2}$

Kita dapat mengelompokkan suku-suku yang memiliki penyebut yang sama:

$\left(\frac{b}{a^3} + \frac{a}{b^3}\right) + \left(\frac{c}{a^3} + \frac{a}{c^3}\right) + \left(\frac{c}{b^3} + \frac{b}{c^3}\right) = \frac{3}{2}$

Kita dapat menggunakan sifat reciprocal untuk menyederhanakan masing-masing kelompok:

$\left(\frac{b^3 + a^3}{a^3b^3}\right) + \left(\frac{c^3 + a^3}{a^3c^3}\right) + \left(\frac{c^3 + b^3}{b^3c^3}\right) = \frac{3}{2}$

Kita dapat menyederhanakan penyebut dan pembilang masing-masing suku:

$\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{3}{2}$

Kita dapat membuktikan identitas dengan mengalikan kedua sisi dengan $abc$:

$abc \left(\frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc}\right) = abc \left(\frac{3}{2}\right)$

$c + b + a = \frac{3}{2}abc$

Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa:

$\frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(c+a)} + \frac{1}{c^3(a+b)} = \frac{3}{2}$

Identitas ini sering digunakan dalam berbagai konteks matematika, seperti algebra, analisis, dan geometri.