1/(x-1)(x-2)+1/(x-2)(x-3)+1/(x-3)(x-4)=1/6

Suzhoumeite

4 min read

·

Jun 15, 2024

42

Share

Menghitung Persamaan Fractional

Dalam artikel ini, kita akan membahas mengenai persamaan fractional berikut:

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x-4)} = \frac{1}{6}$

Persiapan

Sebelum kita mulai menjawab persamaan di atas, mari kita lihat terlebih dahulu bentuk umum dari setiap pecahan:

$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Dalam bentuk di atas, kita dapat menentukan nilai $A$ dan $B$ dengan cara mengalikan pecahan di atas dengan $(x-a)(x-b)$, sehingga:

$(x-b)A + (x-a)B = 1$

Menghitung Pecahan Pertama

Mari kita mulai dengan pecahan pertama:

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

Dengan mengalikan pecahan di atas dengan $(x-1)(x-2)$, kita dapatkan:

$(x-2)A + (x-1)B = 1$

Sekarang, kita dapat menentukan nilai $A$ dan $B$. Dengan mensubstitusi $x=1$ dan $x=2$, kita dapatkan:

$A = -1, \quad B = 1$

Sehingga, pecahan pertama dapat dihitung sebagai:

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2}$

Menghitung Pecahan Kedua

Mari kita lanjutkan dengan pecahan kedua:

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

Dengan mengalikan pecahan di atas dengan $(x-2)(x-3)$, kita dapatkan:

$(x-3)A + (x-2)B = 1$

Sekarang, kita dapat menentukan nilai $A$ dan $B$. Dengan mensubstitusi $x=2$ dan $x=3$, kita dapatkan:

$A = 1, \quad B = -1$

Sehingga, pecahan kedua dapat dihitung sebagai:

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3}$

Menghitung Pecahan Ketiga

Mari kita lanjutkan dengan pecahan ketiga:

$\frac{1}{(x-3)(x-4)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-4}$

Dengan mengalikan pecahan di atas dengan $(x-3)(x-4)$, kita dapatkan:

$(x-4)A + (x-3)B = 1$

Sekarang, kita dapat menentukan nilai $A$ dan $B$. Dengan mensubstitusi $x=3$ dan $x=4$, kita dapatkan:

$A = -1, \quad B = 1$

Sehingga, pecahan ketiga dapat dihitung sebagai:

$\frac{1}{(x-3)(x-4)} = \frac{-1}{x-3} + \frac{1}{x-4}$

Menghitung Persamaan

Sekarang, kita dapat menghitung persamaan di atas dengan menggunakan hasil pecahan di atas:

$\frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-4} = \frac{1}{6}$

Dengan menggabungkan pecahan-pecahan di atas, kita dapatkan:

$\frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-4} = \frac{1}{6}$

Dengan mengalikan persamaan di atas dengan $(x-1)(x-4)$, kita dapatkan:

$-