Trigonometri: 1 + tan²x/tan x
Dalam matematika, terutama dalam trigonometri, ada sebuah identitas trigonometri yang sangat berguna dalam menyelesaikan beberapa masalah. Identitas tersebut adalah 1 + tan²x/tan x. Artikel ini akan menjelaskan bagaimana identitas ini bekerja dan memberikan beberapa contoh soal untuk memperjelas konsep.
Definisi
Sebelum kita menjelaskan identitas 1 + tan²x/tan x, kita perlu memahami definisi dari tangen (tan) dan identitas trigonometri lainnya.
Tangen (tan) adalah sebuah fungsi trigonometri yang didefinisikan sebagai,
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$
Identitas 1 + tan²x/tan x
Identitas 1 + tan²x/tan x dapat ditulis sebagai,
$1 + \frac{tan^2 x}{tan x} = \frac{1}{cos^2 x}$
Untuk memahami identitas ini, kita perlu memanipulasi rumus tangen dan identitas trigonometri lainnya.
Bukti Identitas
Untuk membuktikan identitas ini, kita dapat memulai dengan mengubah bentuk tangen menjadi sinus dan cosinus,
$tan x = \frac{sin x}{cos x}$
Selanjutnya, kita dapat memanipulasi rumus ini untuk mendapatkan,
$tan^2 x = \frac{sin^2 x}{cos^2 x}$
Lalu, kita dapat menambahkan 1 ke rumus di atas,
$1 + \frac{tan^2 x}{tan x} = 1 + \frac{\frac{sin^2 x}{cos^2 x}}{\frac{sin x}{cos x}}$
Dengan membagi penyebut dan pembilang dengan cos x, kita dapat mendapatkan,
$1 + \frac{tan^2 x}{tan x} = 1 + \frac{sin x}{cos x}$
Selanjutnya, kita dapat mengubah bentuk rumus di atas menjadi,
$1 + \frac{tan^2 x}{tan x} = \frac{cos x + sin x}{cos x}$
Akhirnya, kita dapat menyederhanakan rumus di atas menjadi,
$1 + \frac{tan^2 x}{tan x} = \frac{1}{cos^2 x}$
Contoh Soal
Berikut adalah contoh soal yang menggunakan identitas 1 + tan²x/tan x,
Soal 1 Tentukan nilai dari 1 + tan²x/tan x jika x = 30°.
Jawab $1 + \frac{tan^2 30°}{tan 30°} = 1 + \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 = \frac{1}{cos^2 30°}$
Kesimpulan
Identitas 1 + tan²x/tan x adalah sebuah identitas trigonometri yang berguna dalam menyelesaikan beberapa masalah. Dengan memahami identitas ini, kita dapat menyelesaikan beberapa soal yang terkait dengan trigonometri.
