Deret Aritmatika: 1+4+7+10+...+(3n - 2) = 1/2 * n(3n - 1)
Pada artikel ini, kita akan membahas tentang deret aritmatika yang memiliki pola tertentu. Deret ini dapat diwakili oleh rumus 1+4+7+10+...+(3n - 2). Rumus ini memiliki bentuk yang unik dan menarik untuk dibahas.
Definisi Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah deret yang memiliki selisih konstan antara unsur-unsur yang berdekatan. Dalam deret 1+4+7+10+...+(3n - 2), kita dapat melihat bahwa selisih antara unsur-unsur yang berdekatan adalah 3. Oleh karena itu, deret ini termasuk dalam kategori deret aritmatika.
Rumus Deret Aritmatika
Rumus deret aritmatika dapat diwakili oleh formula berikut:
a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n - 1)d)
Dalam deret 1+4+7+10+...+(3n - 2), kita dapat melihat bahwa:
a = 1
(unsur pertama)d = 3
(selisih antara unsur-unsur yang berdekatan)n
(jumlah unsur dalam deret)
Dengan menggunakan formula di atas, kita dapat menulis rumus deret aritmatika menjadi:
1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3n - 2) = Σ(1 + (k - 1)3)
Bukti Rumus
Untuk membuktikan bahwa rumus deret aritmatika adalah 1/2 \* n(3n - 1)
, kita dapat menggunakan metode induksi matematik.
Basis induksi
Kita dapat menunjukkan bahwa rumus berlaku untuk n = 1
. Dalam hal ini, kita memiliki:
1 = 1/2 \* 1(3(1) - 1)
1 = 1/2 \* 2
1 = 1
Induksi
Kita dapat menunjukkan bahwa jika rumus berlaku untuk n = k
, maka rumus juga berlaku untuk n = k + 1
.
1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) + (3(k + 1) - 2) = 1/2 \* k(3k - 1) + (3(k + 1) - 2)
1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) + (3k + 1) = 1/2 \* k(3k - 1) + 3k + 1 - 2
1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) + (3k + 1) = 1/2 \* (k + 1)(3(k + 1) - 1)
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa rumus deret aritmatika 1+4+7+10+...+(3n - 2)
adalah 1/2 \* n(3n - 1)
.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang deret aritmatika 1+4+7+10+...+(3n - 2)
dan membuktikan bahwa rumus deret aritmatika adalah 1/2 \* n(3n - 1)
. Deret ini memiliki sifat-sifat yang unik dan menarik untuk dibahas. Dengan memahami deret aritmatika, kita dapat mempelajari lebih lanjut tentang konsep-konsep matematika lainnya.