%3Dn2-brainly.jpeg "1+3+5+7+...+(2n-1)=n2 Brainly")
Mengenal Rumus 1+3+5+7+...+(2n-1)=n²
Siapa yang tidak kenal dengan rumus matematika yang sangat populer ini? Rumus 1+3+5+7+...+(2n-1)=n² telah menjadi salah satu rumus yang paling sering digunakan dalam matematika. Namun, tahukah Anda bagaimana cara membuktikan rumus ini?
Definisi dan Contoh
Rumus ini memuat penjumlahan bilangan ganjil yang berurut, dimulai dari 1, 3, 5, 7, dan seterusnya hingga (2n-1). Misalnya, jika kita ingin mencari hasil penjumlahan 1+3+5+7+9, maka kita dapat menggunakan rumus ini dengan menggantikan n dengan 5.
Bukti Rumus
Untuk membuktikan rumus ini, kita dapat menggunakan metode induksi matematika.
Basis Induksi
Kita akan membuktikan bahwa rumus ini benar untuk n=1.
1 + (2(1) - 1) = 1² 1 + 1 = 1
Jadi, rumus ini benar untuk n=1.
Induksi
Sekarang, kita akan membuktikan bahwa jika rumus ini benar untuk n=k, maka rumus ini juga benar untuk n=k+1.
1+3+5+...+(2k-1) = k² (asumsi) 1+3+5+...+(2k-1) + (2(k+1) - 1) = (k+1)² (yang harus dibuktikan)
Dengan menggantikan (2(k+1) - 1) dengan (2k + 1), kita dapat menulis sebagai berikut:
1+3+5+...+(2k-1) + (2k + 1) = (k+1)² k² + (2k + 1) = (k+1)² (dari asumsi) k² + 2k + 1 = k² + 2k + 1 (k+1)² = (k+1)²
Jadi, rumus ini benar untuk n=k+1.
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa rumus 1+3+5+7+...+(2n-1)=n² benar untuk semua n.
Kesimpulan
Rumus 1+3+5+7+...+(2n-1)=n² telah menjadi salah satu rumus yang sangat berguna dalam matematika. Dengan membuktikan rumus ini menggunakan metode induksi, kita dapat mengetahui bahwa rumus ini benar untuk semua n.
