Rumus Deret Aritmatika
Rumus deret aritmatika adalah sebuah rumus matematika yang digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama dari deret aritmatika. Deret aritmatika adalah suatu deret yang memiliki beda yang tetap antara suku-suku yang berurutan.
Rumus Dasar
Rumus dasar dari deret aritmatika adalah sebagai berikut:
1 + 2 + 3 + ... + n = n*(n+1)/2
Derivasi Rumus
Rumus di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan teknik induksi matematika. Misalnya, kita ingin membuktikan bahwa rumus di atas benar untuk setiap nilai n.
Basis Induksi
Untuk n = 1, maka rumus menjadi:
1 = 1*(1+1)/2
Terbukti bahwa rumus benar untuk n = 1.
Induksi
Anggaplah rumus benar untuk n = k, maka:
1 + 2 + 3 + ... + k = k*(k+1)/2
Sekarang, kita ingin membuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k+1. Maka kita dapat menulis:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = ?
Kita dapat menggunakan rumus yang telah kita buktikan sebelumnya untuk nilai k:
1 + 2 + 3 + ... + k = k*(k+1)/2
Tambahkan (k+1) ke kedua sisi:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = k*(k+1)/2 + (k+1)
Sederhanakan:
= (k*(k+1) + 2*(k+1))/2
= ((k+1)*(k+2))/2
Terbukti bahwa rumus juga benar untuk n = k+1.
Kesimpulan
Dengan menggunakan teknik induksi matematika, kita dapat membuktikan bahwa rumus deret aritmatika 1 + 2 + 3 + ... + n = n*(n+1)/2 benar untuk setiap nilai n. Rumus ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematika dan ilmu pengetahuan.
