(x+iy) (2-3i)=4+i

3 min read Jul 03, 2024

Penyelesaian Persamaan Kompleks: (x+iy)(2-3i) = 4+i

Pendahuluan

Persamaan kompleks adalah persamaan yang melibatkan bilangan kompleks, yaitu bilangan yang memiliki bagian real dan bagian imajiner. Dalam artikel ini, kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan kompleks berikut:

$(x+iy)(2-3i) = 4+i$

Menyelesaikan Persamaan

Untuk menyelesaikan persamaan di atas, kita perlu menggunakan sifat-sifat perkalian bilangan kompleks. Perkalian bilangan kompleks dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti perkalian bilangan real, dengan perlu memperhatikan bahwa:

$i^2 = -1$

Mari kita mulai dengan perkalian dua bilangan kompleks:

$(x+iy)(2-3i) = x(2-3i) + iy(2-3i)$

Kita dapat mengembangkan perkalian di atas sebagai berikut:

$(x+iy)(2-3i) = 2x - 3xi + 2yi - 3yi^2$

Karena $i^2 = -1$, maka:

$(x+iy)(2-3i) = 2x - 3xi + 2yi + 3y$

Menggabungkan Bagian Real dan Imajiner

Kita dapat menggabungkan bagian real dan imajiner dari persamaan di atas sebagai berikut:

$2x + 3y = 4 \qquad \text{(bagian real)}$

$-3x + 2y = 1 \qquad \text{(bagian imajiner)}$

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Sekarang kita memiliki dua persamaan linear dengan dua variabel. Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan cara eliminasi atau substitusi.

Dengan menggunakan metode eliminasi, kita dapat mengeliminasi variabel $x$ dengan cara mengalikan persamaan pertama dengan $3$ dan persamaan kedua dengan $2$, maka:

$6x + 9y = 12 \qquad \text{(persamaan pertama dikali 3)}$

$-6x + 4y = 2 \qquad \text{(persamaan kedua dikali 2)}$

Dengan mengurangi kedua persamaan di atas, kita dapat mengeliminasi variabel $x$:

$13y = 10$

$y = \frac{10}{13}$

Sekarang kita dapat menyelesaikan variabel $x$ dengan cara mensubstitusi nilai $y$ ke salah satu persamaan linear di atas. Misalnya, kita menggunakan persamaan pertama:

$2x + 3y = 4$

$2x + 3\left(\frac{10}{13}\right) = 4$

$2x = 4 - \frac{30}{13}$

$2x = \frac{26}{13}$

$x = \frac{13}{26}$

Kesimpulan

Dengan demikian, kita telah menyelesaikan persamaan kompleks $(x+iy)(2-3i) = 4+i$. Nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut adalah:

$x = \frac{13}{26} \qquad y = \frac{10}{13}$