%5E1%2Fab*(x%5Eb%2Fx%5Ec)%5E1%2Fbc*(x%5Ec%2Fx%5Ea)%5E1%2Fca-%3D1.jpeg "(x^a/x^b)^1/ab*(x^b/x^c)^1/bc*(x^c/x^a)^1/ca =1")
Pengertian Sifat-Sifat Eksponen dan Pembuktian Identitas
Dalam matematika, sifat-sifat eksponen memainkan peran penting dalam memecahkan masalah-masalah yang melibatkan pangkat dan akar. Salah satu identitas yang penting dan menarik adalah:
$\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{\frac{1}{ab}}\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{\frac{1}{bc}}\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{\frac{1}{ca}} = 1$
Sifat-Sifat Eksponen
Sebelum membuktikan identitas di atas, kita perlu memahami beberapa sifat-sifat eksponen yang penting. Berikut ini adalah beberapa sifat-sifat eksponen tersebut:
1. Sifat Index
$x^a \times x^b = x^{a+b}$
2. Sifat Quotient
$\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
3. Sifat Power of a Power
$(x^a)^b = x^{ab}$
Pembuktian Identitas
Sekarang, kita akan membuktikan identitas di atas menggunakan sifat-sifat eksponen di atas.
$\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{\frac{1}{ab}}\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{\frac{1}{bc}}\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{\frac{1}{ca}}$
Pertama, kita akan menggunakan sifat quotient untuk menyederhanakan setiap faktor:
$\left(x^{a-b}\right)^{\frac{1}{ab}}\left(x^{b-c}\right)^{\frac{1}{bc}}\left(x^{c-a}\right)^{\frac{1}{ca}}$
Selanjutnya, kita akan menggunakan sifat power of a power untuk menyederhanakan setiap faktor:
$x^{\frac{a-b}{ab}} \times x^{\frac{b-c}{bc}} \times x^{\frac{c-a}{ca}}$
Kemudian, kita akan menggunakan sifat index untuk menggabungkan ketiga faktor tersebut:
$x^{\frac{a-b}{ab} + \frac{b-c}{bc} + \frac{c-a}{ca}}$
Sekarang, kita dapat menyederhanakan penyebut di atas:
$x^0 = 1$
Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa:
$\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{\frac{1}{ab}}\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{\frac{1}{bc}}\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{\frac{1}{ca}} = 1$
Kesimpulan
Dengan demikian, kita telah membuktikan identitas yang penting di atas menggunakan sifat-sifat eksponen. Identitas ini dapat digunakan dalam berbagai aplikasi matematika, seperti aljabar, geometri, dan analisis.
